石立鑫
山东省临沂市蒙阴县第四中学276200
摘要：在近些年来，分类讨论思想不再只是高中数学的必考知识点了，也逐渐出现在各大中考数学试题中，无论高中还是初中，它都是一个重难点。对初中生来说，分类讨论思想是他们步入初中以后才接触到的一种做题思想，想要完全理解并熟练应用在做题中，是非常有难度的。分类讨论思想在初中数学解题中有着非常广泛的应用，对初中数学的整个系统框架起着很关键的作用，本篇文章从应用题、方程、三角形以及圆四个方面阐述了分类讨论思想在初中数学解题中的应用。
关键词：初中数学；分类讨论；解题；应用
分类讨论的数学含义就是把数学问题划分为几种情况，并列举出来，然后依次求出每种情况对应的答案，要求做到每一种情况不遗漏，也不会出现重复的情况。对初中学生来说，掌握分类讨论思想对自身的学习是有极大的帮助的，不仅能够锻炼自己的思维，还能在很大程度上提高自己的学习成绩。
1分类讨论在应用题中的应用
初中数学不同于小学数学，小学数学的答案具有唯一性，但是很多初中数学题具有很多个答案，需要分类去讨论。分类讨论思想在初中数学中的应用之一为应用题，应用题重在分析与理解问题的能力。通常由于变量的取值不同就会导致结果不同，在做应用类问题时要理解题目中的要求是什么，可以从题目中获取什么有效信息，题目中是否存在“陷阱”等等。分类讨论的时候要注意讨论合理，且要讨论完全，所有情况都要考虑到位，漏掉任何一种情况都是不完整的。
例如，某女装厂生产一种上衣和一种丝巾，上衣的价格为100元每件，丝巾的价格为20元每条。商家正在开展促销活动，有两种方案，第一种方案：买一件上衣送一条丝巾；第二种方案：上衣和丝巾均打九折，要求两种方案只能选一种。现在某公司的采购人员准备采购20件上衣和若干条丝巾（丝巾数量大于20），请问选择哪种方案更划算？为什么？
分析：因为题目中没有明确采购的丝巾的具体数量，所以哪种方案最划算是无法确定的，要根据丝巾的数量来判断。
解：设采购的丝巾的数量为x,则由题意可得，
方案一：所花费的钱为100*20+20（x-20）=20x+1600;
方案二：所花费的钱为100*0.9*20+20*0.9*x=18x+1800;
设y=20x+1600-18x-1800=2x-200,
当y>0时，2x-200>0,即x>100,此时方案二更划算；
当y=0时，2x-200=0,即x=100,此时两种方案都可以；
当y<0时，2x-200<0,即20<x<100,此时方案一更划算。
综上所述，当采购的丝巾数量大于20小于100时，方案一更划算；当采购的丝巾数量等于100的时候，两种方案都可以；当采购的丝巾数量大于100时，方案二更划算。
2分类讨论思想在方程中的应用
方程的概念在小学中就有提到，所以初中学生并不陌生，但是方程的难度会随着课程的进度而逐渐提高，初中的方程不仅涉及到简单的一元一次方程，还有一元二次方程，二元一次方程组等，这些都是要求初中生掌握的内容。有很多学生在做题的过程中容易丢失解方程的题目的分数，原因要么是计算大意了，要么是审题没审清，还有就是没有注意到要分类讨论，导致得分不全。其实初中数学方程题里也会考到分类讨论思想，目的是考验学生的细心与否，有的题目要求讨论是否为一元二次方程，有的要求讨论根的情况。下面以一道例题阐述分类讨论思想在方程中的应用。
例如，已知方程(a-3)x|a-1|+x2-3=0是关于x的一元二次方程,且方程有解，求a的值。
分析：因为题目说的是关于x的一元二次方程，那么|a-1|的值必须小于或等于2，那么a可以取-1、3、0、2、1，下面依次进行分析。
解：因为题中方程为x的一元二次方程，所以|a-1|<=2,即a可能取的值为-1、3、0、2、1.
（1）当a=-1时，该方程为-4x2+x2-3=0,该方程无解，不符合题意，舍去；
（2）当a=3时，该方程为x2-3=0,该方程有解，符合题意；
（3）当a=0时，该方程为-3x+x2-3=0,方程判别式等于21，所以方程有解；
（4）当a=2时，该方程为-x2+x2-3=0,该方程无解，舍去；
（5）当a=1时，该方程为-2+x2-3=0,该方程有解，符合题意。
综上所述，a可以取的值为0,1或3.
3分类讨论思想在三角形中的应用
初中数学中关于三角形的题目也是非常多的，一些三角形题目中也会涉及到分类讨论思想，最为常见的就是等腰三角形了。通常是已知三角形的两条边长求周长，可以按照哪条边是底边进行分类讨论；或者已知三角形的一个角求其他两个角，可以按照哪个角是底角进行分类讨论。下面以一个构建等腰三角形的例子探究分类讨论思想在三角形中的应用。
例如，如下图所示,已知直线L1、L2和线段AB。求作:直线L1、L2上的点P,使△PAB是等腰三角形。
分析：已知线段AB是等腰三角形的一条边,要想△PAB为等腰三角形，需要分成两类:AB为底边;AB为腰。而第二类又可细分为:A为顶角;B为顶角。
解：(1)当AB为底边时，作线段AB的中垂线,分别交直线L1、L2于点P2、P1;
(2)当AB为腰时，以点A为圆心,AB为半径作圆,交直线L1于点P4、P6，交直线L2于点P3、P5;以点B为圆心，AB为半径作圆，交直线L1于点P8、P10，交直线L2于点P7、P9。
所以综上所述，P1,P2,P3,……P10即为所求的点。
4分类讨论思想在圆中的应用
关于圆的性质是非常多的，所以在圆有关的题目中通常会涉及到分类讨论思想。在做这类型题时，一定要画好图，一个好的图形对解题来说是非常关键的一步，另外在做题时一定要细心，注意可能出现的所有情况。
5结束语
综上所述，分类讨论思想在初中数学中的应用是非常广泛的，除了在上面四种方面有应用外，还在二次函数上有着较强的应用，而且难度极高。但是如果掌握好了对数学的学习起着很关键的作用，所以学生教师一定要做好指导工作，在分类讨论的时候，引导学生进行自主分析，锻炼学生的分析思维、逻辑思维。
参考文献：
[1]吴海华.分类讨论思想在初中数学解题中的应用[J].2012(8).
[2]柏辛.分类讨论思想在初中数学解题中的应用[J].2015(12).