李长白
沈阳体育学院退休办 辽宁 沈阳 邮编110033
摘要 马克思《数学手稿》中，最重要、最有现实意义的是其中关于导数的结果应该是“严格数学意义上”的0/0的观点。它是正确的。本文以函数y=ax2的导数的结果是2ax为例,清楚地说明现在数学界实际上接受了这个观点，只是在口头上仍然拒绝承认马克思的观点的正确性。所谓什么“无限趋近但不等于”应该改正了。文章从概念和逻辑方面批评了否定、曲解马克思观点的意见。
关键词 马克思《数学手稿》
导数应该是“严格数学意义上”dy/dx=0/0
一切真理都是相对真理
马克思的数学手稿中译本1975年7月出版以后，到现在已经45年多了。英文版的数学手稿据说在西方已经出版到第三版了。[1]但是无论中外，至今仍然几乎没有人认识到马克思《数学手稿》有非常重要的现实意义。所以有必要对马克思的正确观点再做阐述。
1《数学手稿》的现实意义在于有关文章中肯定导数的结果是 严格0/0
马克思《数学手稿》中，比较完整、比较重要是《关于导函数》等几篇文章。中英文版均如此。这篇论文最重要之处在于马克思在求出一元三次函数的导数以后，明确认定，“第一点：为了得出导数。就必须设x1=x，因而是严格数学意义上的x1-x=0，无需任何只是无限趋近之类的糊涂话。”[2]这是马克思论文中的“第一”点。而这个第一点，恰恰是评论数学手稿的所有文章中都竭力忽略的。
下面举例说明。
2 ax2的导数数值说明马克思观点是正确的
2.1求一元二次函数y =a x2（它比一元三次函数简单，但是足以说明问题）(令a为常量而且a﹥0) 的导数。
⑴变化 让自变量由x 变化到x1，于是函数y也变化为y 1 ：
∵ y =a x2 (2.1.1)
∴y 1=a x12 (2.1.2)
⑵求差 求出两个差值，就是变化后的自变量x1和变化前的自变量x的差，以及相应的函数y 1和y的差。分别用Δx和Δy表示这两个差，则：
Δx= x1- x (2.1.3)
Δy =f(x1)-f(x)=a x12-a x2
=a( x+Δx)2-a x2
=2a x Δx + a Δx2 (2.1.4)
⑶作比 即算出上面函数的差与自变量的差的商值Δy /Δx（马克思称之为预备导函数[3]，即在一个区间里建立了新关系。注意：现在是导数的近似数值，不是在每一个点处关系的准确数值）：
（2.1.5)
以上3步都是代数运算，是有限量的运算，结果是正确的。容易理解和接受。
⑷求极限，即x1→x或Δx→0，于是得出了y的导数，通常用y’（或用d y /d x表示）表示：
至此导数已经求出：y '=2ax，运算结束。（2.1.6）式的含义是：函数y =a x2 的导数y '等于当Δx→0的 时候Δy /Δx的极限值。
上面的运算中最困难的、也最令人诟病的是第四步求极限的时候，为什么删除了Δx→0这一项。
现在数学界都公认导数的结果是2a x，没有任何人认为应该保留a Δx那一项。这个结果实质上已经肯定了前面我引用的马克思的话，即“第一点：为了得出导数。就必须设x1=x，因而是严格数学意义上的x1-x=0，无需任何只是无限趋近之类的糊涂话。”（为强调起见，我把这句话全部加黑了）。而在评论马克思《数学手稿》的文章中，没有一篇文章（我的文章除外）引用这段话。因为它触犯了现行的极限定义的基本点，即：“无限趋近但不等于”[5]。例如，孙小礼认为马克思的分析在“现在看来是很浅显的，也不足以说明一般函数的微分过程。”只不过是“马克思为了撕下微分学的神秘面纱做的一份历史性的努力” [6]。外国人如肯尼迪的文章也是如此[7]。这充分说明他们没有真正理解马克思的观点。
认真阅读马克思的《数学手稿》，会发现马克思在他的文章中再三再四地强调导数（包括微分）的结果应该是“严格的特定的0/0（“特定的”是我加入的。下同。李长白注）”。[8]
恩格斯高度评价此文。（中英文的《数学手稿》中都引入了恩格斯下面这段话）：
“我向你祝贺。事情是这样清楚，真是奇怪，为什么数学家们要那样顽固地坚持把它搞得神秘莫测。不过这是那些先生们的思想方法的片面性造成的。肯定的、直截了当地令dy/dx=0/0，这个概念在他们的头脑中是没有的。但是很明显。只有当量x和y的最后的痕迹消失，剩下的只是它们的变化过程的表示式而不带任何量时，dy/dx才能真正表示出在x和y上都已经完成了的过程。
“你无需害怕在这方面会有数学家走在你的前边。这种求微分的方法其实比所有其他的方法要简单的多，所以我刚才就运用它求出来一个我一时忘记了的公式。然后用普通的方法对它进行了验证。这种方法很值得注意，尤其是因为它清楚地表明，通常的方法忽略了dxdy等是完全错误的。特别值得注意的是，只有当dy/dx=0/0时，而且只有那时演算在数学上才是绝对正确的。”[9]
恩格斯真正理解、接受了马克思关于dy/dx=0/0的观点。他对当时数学界（也应该包括现在的数学界）的形而上学的批评是尖锐的、正确的。直到现在，全世界的数学家们仍然坚持他们的错误的观点，极力否认导数的正确结果应该是严格的特定的0/0。可是他们在实际上则应用了马克思的观点！他们是典型的“口非实是”！荒唐至极！
2.2 从导数的存在及准确性的观点看Δx→0的含义应该是“逐渐趋近并且最终等于”
在17世纪刚发现微积分的时候，牛顿和莱布尼茨对求导数的时候最终出现的Δx→0的含义的认识不是非常清楚。Δx→0是否等于0后来在数学界引起了长时间的激烈争论。有一派认为Δx→0的含义是最终Δx=0。著名的数学家欧拉就坚持后面的观点[10]。欧拉、马克思等等的意见是正确的！
2.2.1 Δx→0最终不等于0会导致概念不准确
目前数学界的主流否定了欧拉等等的意见，认为Δx→0的含义是“无限趋近但不等于”0。 这种说法的要害就是：躲避关键点。这种观点是错误的！
如果利用现在的极限来定义导数，则会使得所求的那一点处的导数存在成了问题。柯朗教授说，“应该强调的是在令x‘趋近于’x1时，我们可以允许x大于或小于x1，但是却要求x≠x1，因而明确地排除了它们相等：x趋近于x1，而永不取值x1。”[11]。如此一来，则在1中例子里x处的导数还有吗？
现在的主流意见实际上否定了这一点处导数的存在。所以这种说法导致概念不准确。
2.2.2 Δx→0但是不等于0还会导致导数的数值不准确
按照现在的极限的规定，则求出的导数的结果只能是极限值，而不是导数的真值。仍然以2.1中的例子讨论。由于Δx≠0，则虽然Δx趋近于0，甚至是“无限趋近”于0，但是显然应该肯定aΔx≠0，于是把（1.5）式中的这一项删除来得到（1.6）式就是不合逻辑的。毕竟只因为某个数量小就把它删去是不合数学的逻辑的。可是所有的微积分教科书中所有的导数的结果中都“镇压”了（马克思语）[12]Δx≠0 所引起的误差。这个逻辑上的错误非常明显。当年贝克莱批评牛顿、莱布尼茨的时候就指出，最小的误差也不能忽略（此语出自牛顿）[13]。所以现在的数学家即在自欺，又在欺人！
在某些条件下存在的矛盾就更尖锐。请读者注意，(1.5)的右边是2a x＋aΔx。于是在x=0的这个时候，(1.5)式的前一项即2a x就应该为0，这时由于Δx不等于0，所以后一项aΔx显然大于前一项，更不宜删除。如果与大山或者地球相比，一粒灰尘可以忽略。但是如果与0比较，一粒灰尘还可以忽略吗？我看不可以，除非这一粒灰尘也是0！[14]
3 正确理解马克思的《数学手稿》的观点关键是接受马克思主义的真理观
3.1《数学手稿》的高明之处在对特定的（0/0）的肯定
马克思的求导数的运算的方法和数学界的运算基本相同。他的高明之处是在求导数的运算的结果出现了dy/dx=（0/0）=f’(x)=…的时候，他坚决地肯定这个结果是合理的，正确的，是严格的数学意义上的特定的（0/0），绝不是什么无限趋近 。所以他否定了目前在微积分中的极限定义，因为后者的关键点是“趋近”（甚至是“无限趋近”）但“不等于” 。遗憾的是直到现在数学界仍然没有接受马克思的正确观点。在这个意义上，马克思超越了数学家（一百多年）。
3.2从真理观的角度理解和接受马克思的观点
只有从马克思主义真理观的角度才能理解马克思的观点。
代数学中有一个规定，不允许0做分母，尤其不允许(0/0)，因为这会导致任意两个数都相等，这太荒唐了。
但是不可以把这个规定绝对化。根据唯物辩证法，一切真理都是相对的，不是绝对的。只有无数相对真理之和才是绝对真理。[15]数学真理包括代数学中的真理肯定也是相对真理。显然正是因此，马克思才强调指出，在求导数的时候，其结果应该是“严格数学意义上的特定的”0/0，指出这时候只是量的关系消失了，但是质的关系仍然存在。他不同意数学界的“无限趋近”的说法。微积分中允许0/0的存在当然也是相对真理。
3.3《数学手稿》的不足
①最主要的不足是马克思几乎一字未提需要从真理观方面去理解他的观点。原因可能是对马克思恩格斯而言，相对真理与绝对真理的关系乃是一个基本的常识，他们认为无需多言。
②如果马克思能够利用函数图像进一步讨论，会更有说服力[16]。因为利用图像，可以非常容易推出数学点的存在，进而推出实无穷小数的存在，等等。
4 马克思的观点是一个突破口
马克思的《数学手稿》的观点是正确的、深刻的，对现在的微积分具有非常重要的、突破性的现实意义。
同时有必要依据唯物辩证法进一步探讨微积分的整个基础。微积分的基础运算不只是求导数的运算，还包括积分运算、微积分基本定理，等等，涉及到极限以及实数等。马克思的《数学手稿》是一个突破口。他迈出了非常关键的第一步。打一个比方，如果微积分的基础中有十个“碉堡”，则马克思基本上已经占领了其中的一个“碉堡”（导数，微分也解决了一些）。目前的极限理论则是一个碉堡也没有占领，而是全部绕过去了（“回避”[17]）。因此还剩不少“碉堡”没有被占领。
有人提出，马克思的观点呼应了非标准分析[18]。但是马克思比目前的非标准分析更进一步：他提出了0/0的存在，所以按照马克思的观点推论，容易推出实无穷小数的存在，而且实无穷小数的量值一定等于0，等等。而鲁滨逊的无穷小只是约等于0。所以马克思为新的非标准分析的建立迈出了第一步。
著名的数学哲学家哥德尔曾经认为，未来微积分应该是某种形式的非标准分析[19]。从马克思的观点出发重新建立的微积分的基础可能会出乎一些人的意料之外，但是它会更有说服力，并且逐渐被人们广泛接受，从而真正解决“第二次数学危机”。
参考文献
1英文第一版，1983年。 Mathematical Manuscripts of KARL MARX[M] Published by New Park Publication Ltd.,21b Old Town,Clapham, London SW4 OJT。第三版，2001年。详情未知。
2马克思.《数学手稿》[M].北京大学《数学手稿》编译组编译. 北京：人民出版社，1975年5.1983年英文版7。
3马克思.《数学手稿》[M].北京大学《数学手稿》编译组编译. 北京：人民出版社，1975。4，5.
4周述岐.《微积分基本原理》修订本[M].北京：中国人民大学出版社，1989第二版.103—104.不同的教科书中的论述大同小异。
5 〈美〉R?柯朗 H?罗宾 著I?斯图尔特修订 《什么是数学》[M]左平 张饴慈译 复旦大学出版社2005年5月第2版 315。
6孙小礼《宝贵的历史文献：马克思的数学手稿》。见《北京大学学报》（哲学社会科学版）[J]40卷第2期2003年3月第18-23.
7中译文发表在《自然科学哲学问题丛刊》[J]，1985年第4期，译者沈未。（现在没有查到。）
8马克思.《数学手稿》[M].北京大学《数学手稿》编译组编译. 北京：人民出版社，1975.4，5.等等。其中第一篇文章的结尾部分的内容就是dy/dx=0/0=…。
9 同2,211-212。1983年英文版XXVII-XXVIII.
10欧拉.《微分学引论》（英文版）即《Foundations of Differential Calculus 》[M]Euler.Translated by John D.Blahton.?2000 Springer-Verlag, New York, Inc. Prefaceⅶ.
11 〈美〉R?柯朗 H?罗宾 著I?斯图尔特修订 《什么是数学》[M]左平 张饴慈译 复旦大学出版社2005年5月第2版 315。
12 同2.102，103.
13李文林主编.《数学珍宝》[M].北京：科学出版社，1998.283-284.
14同10，Preface ⅷ、ⅸ.
15 毛泽东 《毛泽东选集》（第一卷）[M].北京：人民出版社1951年10月北京第一版，294.
16李长白《关于可导函数图像的点的大小的思考》，见《辽宁经济职业技术学院院报》[J]2003年1：55-56。另外可参李长白《求导数的运算的结果应该是特定的0/0（综述）》，见《数学?物理学?力学?高新技术研究进展──2004（10）》[M]，西南交通大学出版社，2004年7月，第1版， 87-90。
17 〈美〉威廉? 邓纳姆《天才引导的历程》[M]，苗 锋译，中国对外翻译出版公司，1994年12月，第1版，278-281。回避的英文是：limit avoidance。
18可以查网页https://yuanmeng.blog.csdn.net/article/details/80204865?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-3.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-3.control，北京大学，袁萌。
19转引自鲁宾逊《非标准分析》[M]，申又枨 王世强 张锦文等译，科学出版社，1980年9月，第1版，ⅳ。
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