吕和娜
浙江省宁波市镇海区职业教育中心学校
【摘要】
向量是集“数”“形”于一身的数学概念，典型地体现了数形结合的思想，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁。其有着极其丰富的实际背景和几何背景，其中力、位移等为其物理背景，有向线段的表示为其几何背景。向量模型广泛应用于数学、物理学科及实际生活中的问题，因此，向量在整个高中数学中起到联系数与形、跨学科、承前启后的作用。对于本节概念课的设计，旨在让学生去体会认识和研究数学对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。
关键词：平面向量；数学概念；数形结合
课前准备
为中药专业学生每人准备了一个礼物——一封信，信封的封面是导航信息，邮戳则选用医药学家李时珍和与本节内容有关的数学家牛顿；信封的另一面是《平面向量的发展》、 《平面向量的应用》两个微课的二维码，信封内则有一支记号笔和一张向量纸——此为课堂所用素材。
一、创设情境——引入向量
师：今天为大家定制了一个小礼物——信封，它不同于普通的信封，因为它记录了自己的路径信息。它从职教中心来到我们学校，虽然不是漂洋过海，但也经历了长达38分钟，跨越17.3公里，经过26个红绿灯的漫长等待才和大家见面。当然，在带它来的途中，我不仅关心时间、路程这些只有大小的量，更关心导航所告知我的路径信息，比如它不仅告诉我行驶的距离大小，还告诉我行驶的……
生：方向
师：在生活中，我们随处可见既有大小又有方向的量，如在公路上（如图1），它告知我们怎样的信息呢？
师：在地铁口附近（如图2），它告知我们的信息是…
师：其实，我们在科学的学习过程中已经接触过“既有大小又有方向的量”，如物体所受的重力、压缩的弹簧产生的弹力（如图3）。
图1 图2 图3
设计意图：（1）通过情境，激发学生的好奇心，调动学生的学习积极性。
（2）通过生活实例、科学中的力，感知“既有大小，又有方向的量”的客观存在。同时，渗透向量的表示方法，旨在后续向量的表示能自行突破。
二、互动探究——初识向量
既有大小又有方向的量在生活中大量存在，数学中对以上既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量——向量。
强调：向量的两要素既有大小，又有方向；而之前研究的只有大小没有方向的量为数量，如时间、距离。
【观察】圣诞精灵在-1℃的天气送礼物的过程，存在哪些数量和向量呢？
设计意图：（1）理解平面向量的概念，认识向量的两个要素。
（2）通过生活实例，感受数量和向量的普遍存在，体会两者的本质区别。
师：在研究数学的过程中，认识概念后，为后续研究的方便，通常要先表示它。对于向量我们能不能用一种几何图形直观的表示呢？
预设：（1）若学生讨论后没有结果，引导学生类比力的大小和方向的表示方法。
（2）箭头。教师追问，箭头表示向量的什么？向量还有一个要素怎么体现呢？
（3）带箭头的线段。大家很厉害，你们和英国大科学家牛顿的想法不谋而合，牛顿就是第一个用有向线段表示向量的人。
【观察】向量在平移过程中，其大小和方向是否发生变化？向量与它的位置有关吗？
【强调】向量只有大小和方向两个要素，与位置无关，理解向量是自由向量。
设计意图：（1）在过渡语中，了解研究新概念的基本方法。
（2）自行得到向量的几何表示方法，树立学习的信心，发展“数形结合”的思维习惯。同时，了解数学史的知识。
三、互动探究——细看向量
探究一：从大小的角度看向量
向量的大小叫做向量的模，向量、的模分别记作|、。
练习1：请作向量表示圣诞精灵向西走200m。
设计意图：（1）通过练习题，巩固向量的两种表示方法，体验“数形结合”的思想方法，并通过对单位长度的选取发现引入单位向量的必要性。
（2）学生板演，为后续零向量的引入作铺垫。
【问题】现在大家打开小礼物，它是圣诞精灵送礼物途中存在的一个向量，瞧一瞧你的是不是衡量向量的标准——单位向量呢？如果是，请说一说，它的方向是怎样的？
分析：只要模为1的向量都为单位向量，无论它的方向如何，即在任何方向都有单位向量。
【思考】刚才板演学生的位移大小是多少？
零向量：模为0的向量，称为零向量，记作。
【思考】零向量的方向呢？
【规定】零向量的方向是不确定的。
【思考】与0一样吗？
练习2：请用符号表示所给向量的模。
探究二：从方向的角度看向量
【思考】观察下图，从方向上看，向量与向量之间形成怎样的关系呢？
【总结】平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量。
【说明】零向量与任一向量平行，记作
【追问】上图中，与向量平行的非零向量有哪些？
探究三：从大小和方向角度一起看向量
【再追问】从大小和方向角度一起看，在这几组平行向量中，有没有更特殊的关系？
相等向量：模相等且方向相同的两个向量叫做相等向量。若向量与向量相等，记作
【思考】在线段AB上加上箭头表示向量，有几个向量？这两个向量是否相等？
负向量：我们把模相等、方向相反的两个非零向量叫做负（或相反）向量。向量的负向量记作
【说明】；零向量的负向量仍为零向量。
练习3：找一找，好朋友
找一找你与小组内其他的向量有什么关系?
设计意图：（1）理解向量的相关概念，不仅关注概念的产生结果，更注重概念的产生过程。
（2）通过师生对话，生生对话，不断的辨析概念，完善概念，体会概念是逐步完善的。
（3）感受类比的思想和联系的观点是探究中常用的方法，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。
（4）在向量的研究过程中，体验“数形结合”的思想方法。
四、知识强化——应用向量
1．下列说法正确吗？
设计意图：本课概念较多、容易混淆，通过5个辨析题，加强对概念的理解和记忆。
2．在平行四边形ABCD中，O为对角线交点.
设计意图：强化向量、相等向量、共线向量及负向量的概念，注意寻找一个向量的共线向量时，包括方向相同和相反两种情况。
五、归纳小结——再看向量
一个概念 两种表示 两个特殊 三个关系
【教学反思】
本课概念多，按照常规上课形式，学生易觉得枯燥乏味，鉴于各概念的定义并不难，所以，我本着“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过“创设情境，引入向量”“互动探究，初识向量”“ 互动探究，细看向量”“知识强化，应用向量” “归纳小结——再看向量”等教学环节循序渐进地引导学生研究新概念，合乎合理地给出新定义，逐步形成研究向量的一般方法，从而实现素养目标。
参考文献：
[1]刘娟.“平面向量的实际背景及基本概念”教学设计与实录[J].中国数学教育,2017(Z2):59-64.
[2]熊翼.“平面向量的实际背景及基本概念”教学设计[J].中国数学教育,2015(10):9-13.