杜孝凯
(山东省济南市市中区经纬学校,山东 济南 250000)
课前慎思
“比例的意义”是人教版六年级下册第四单元第一课时的内容，使用了国旗的情境。不同版本的教材创设了不同的情境：西南师大版用了竹竿和影长的情境，苏教版则用了图形的放大与缩小的情境……这些教材都是通过生活中的现象研究现象背后的数学原理，进而抽象出“比例”的概念。
不管是哪个版本的教材，都是在研究两个“比”之间的关系。我们能不能把视野再放大一些，去研究更一般的情况呢？由此我想到，张奠宙先生在《分数相等性质的数学内涵——兼及角的定义》一文中，揭示了“分数相等性质”中蕴含的一个非常深刻的数学思想——“等价类”。文中指出：一个分数有多种表示形式，而且有无限多种。我们“把同一个分数的所有不同表示形式，看成彼此相等的一个整体，就形成了一个‘等价类’”。“等价类”是一个重要的数学思想方法，它是“分类”数学方法的引申。分类之后，在同一类中的对象就具有某种等价性。例如：偶数是具有因数2的整数等价类。
根据张奠宙先生的论述，比值相等的一系列比也可以看作是一个“等价类”，这些比的形式和表示的意义虽然有所不同，但它们彼此相等，这就构成了一个由无限多个比组成的等价类。因此，从一个“等价类”中任意拿出两个比，就组成比例。能否通过渗透“等价类”的数学思想，重构“比例的意义”的教学，从而帮助学生从更高的观点理解“比例”呢？为此，我进行了如下设计：
教学过程
一、创设情境 激发兴趣
师：我是一名新手奶爸，在照顾小宝宝的时候遇到难题啦！这是我刚买的奶粉，一不小心给弄脏了，这么多信息都不见了。你能帮我找回来吗？
（学生独立尝试后汇报）
生：我是根据它俩之间的倍数关系找到的：2勺奶粉兑60毫升，3勺奶粉兑90毫升......
二、渗透“等价类”思想
师：第一杯奶有多浓？用数学的语言怎么表示？只用一个数行吗？
生：1:30
师：浓度受几个因素影响？
生：两个。它既受奶粉的影响，也受水的影响，所以要表示它的浓度得用两个数的比来表示。
师：大家看，在这一些比当中，有一个比很重要，你觉得是哪个？
预设1：1:30，因为下面这些比约分之后都是1:30。
师：既然这些比化简以后都是1：30，那反过来想，从1:30怎样就能得到这些比呢？
生：前项和后项同时乘一个相同的数得来的。引到预设3。
预设2：1:30最重要，你看，1+1是2,30+30是60；2+1是3,60+30是90；这边+1，这边就得+30。
师：下面这些比都可以看作是由1:30叠加出来的，同意吗？如果我们一直加下去，能写出多少个这样的比来？
生：无数个。
预设3：1×2是2,30×2是60；1×3是3,30×3是90……下面这些比都可以看作是1:30乘出来的。
师：你想到了之前学过的什么知识？
生：比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以不是零的数，比值不变。
师：如果我们一直乘下去，写的完吗？
生：写不完。
师：同学们，《荀子·儒效》当中讲到：“千举万变，其道一也”，我们数学上也是这样，从一个最简单的1:30，可以变出无数个比值相等的比来。
【设计意图】从1:30出发，通过比的基本性质就可以找到一系列比值相等的比，这一系列比值相等的比可以看作是一个“等价类”，这就渗透了“等价类”的思想，同时为“比例”概念的教学创造条件。
三、抽象概念，深化认识
师：如果我想表达两杯奶一样浓，咱作为数学人，这事儿能用数学的语言表示出来吗？
生：比如第二杯和第三杯奶，我会这样表示 2:60=3：90
师：真棒！这两个比的比值一样，就可以画等号，这就形成了一个“比例”。
师：你觉得用这张表能找出多少个像这样的比例？
生：无数个。因为这里有无数个比值相等的比，只要任取两个比就能写成比例。
师：我们找到了这么多比例，那到底什么是比例啊？
师：出示“比例”定义。
【设计意图】通过“两杯奶一样浓”这个问题抽象出比例的概念，又通过“你觉得这样的比例能找出多少个来？”的问题，让学生体验“比例”来源于“比”。
四、学以致用，拓展模型
练习一：它们能组成比例吗？
6:10和9:15 20:5和1:4 0.4/2和1/5 1:4和0.25
【设计意图】变式练习，及时跟进。
练习二：
小组合作完成后汇报。
通过最后一小题打通“比”、“比例”、“函数”间的联系：
师：比，研究的是两个数的关系；比例研究的是两对数的关系。其实，像这样的两列数之间也存在着关系。
【设计意图】让学生知道“比例”这个知识的来龙去脉，建好“承重墙”，打通“隔断墙”。为学生搭建知识网络。
师：这节课你有什么收获呢？
教学思考：
一、感受数学的人文之美。
“千举万变，其道一也”，老子也说“道生一，一生二，二生三，三生万物”，用圣人先贤的话来讲数学知识，这样既将知识的本质内容抛出，促进了学生对概念本质的理解，同时又感受了数学的人文意境、和谐之美。
二、让碎片化的知识，变得浑然一体。
把具有一定逻辑关系的知识，根据他们拥有的共同的本质特征，建立结构。这节课上，从“比”到“比例”，再到“函数”，这条具有共同本质特征的知识线索通了。学生能够在更高的观点理解所学，举一反三，触类旁通，建立学习力。