刘建平，邓镇国
（广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁 530004）
摘要：讨论如何教授求幂级数的和函数. 这是高等数学的一个难点.
关键词：幂级数；和函数；高等数学
中图分类号：G642.0 文献标识符：A
The teaching experience of power series
LIU Jian-ping , DENG Zhen-guo
（School of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 530004, China）
Abstract：How to teach the sum function of power series is discussed. This is a difficulty of advanced mathematics
Key words：power series；sum function；advanced mathematics
求幂级数的和函数. 这是高等数学的一个难点. 那么如何讲授才能让学生轻松掌握求幂级数的和函数的方法呢？
首先，让学生观察下面两个级数，并在开区间内求它们的和函数：
， ，
学生不难发现，这两个级数都是公比为的等比级数，其和函数很容易求出. 级数(1)的和函数是
，级数(2)的和函数是
. 由此总结出，形如
的幂级数的和函数是首项.
接着，让学生观察下面级数：
，
并与前面两个级数对比. 通过对比，发现级数(3)的系数不是常数，而是与有关，因此不能套用等比级数求和公式，怎么办？想办法让级数(3)变成等比级数！如何变？让学生回想幂函数的求导公式，很快就可以看出，级数(3)的通项
可以看成
的一阶导数. 再利用收敛级数逐项可微的性质，在收敛区间内级数(3)马上变为
.
上式右端求导符号下的级数正好是前面级数(2)，因此级数(3)的和函数正好是级数(2)的和函数对
. 进一步引导学生求下面两个级数的和函数：
：
.
有了求级数(3)的和函数的经验，学生很快想到级数(6)的通项
的一次积分
. 再利用收敛级数逐项可积的性质，在收敛区间内级数(6)马上变为
.
上式右端积分符号内的级数正好是前面级数(1)，因此级数(6)的和函数正好是级数(1)的和函数对x的一次积分
. 进一步引导学生求下面级数的和函数：
只需在上式右端中求出级数(6)的和函数，马上得到级数(7)的和函数. 因此级数(7)本质上是级数(6)的推广. 最后，引导学生总结出，形如
的幂级数主要分为级数(3)和级数(6)两种基本类型，其他形式只需采用级数(4)，(5)，(7)类似处理方式可化为这两种基本类型之一.
经过特殊到一般的引导及具体到抽象的归纳这些过程，学生对求幂级数的和函数的方法应该能够轻松掌握.
参考文献：
[1] 同济大学数学系. 高等数学（第六版）下册[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007.
作者：刘建平
性别：男
出生年月日：1963.8
籍贯（省市）：广西南宁市
民族：汉
学历学位：研究生
现职称：讲师
研究方向：微分方程