杨晓
（义乌市第六中学，浙江 义乌322000）
摘要：解析几何是一门以代数的形式进行图形研究的学科，将变量引入了几何的领域，在整个高中数学具有重要地位。解析几何中常用到的数学思想有：数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想。该文就这4种思想在解析几何中的应用做简要的说明，以期在今后的学生学习和教师教学中达到“化抽象为直观，化复杂为简单的”效果。
关键词：数学思想；高中数学；解析几何
引言
解析几何是高中重要的教学内容，是指利用解析式来研究几何图形的过程。由于其高度的抽象性和逻辑性，学生在进行解析几何问题的解决时，经常会遇到很大的困难，也是高考中很大的失分点。因此，我们可以在教学过程中，引入数学思想，来帮助学生进行解析几何问题的分析和研究，让学生找到问题的解决思路，从而提高学生对解析几何问题的解题质量和效率，进而为学生以后的高考做好充足的准备。
1、数形结合思想的应用
（1）由形到数。以所研究几何图形的生成规律或形状为出发点，建立与该几何图形对应的数量关系。以几何图形为手段、数量关系为目的，借助几何图形的直观形象，来揭示数量间的关系。例如：以坐标系为桥梁，在建立了点和坐标一一对应关系的基础上，我们在《直线与方程》一章中建立了直线的方程，借助对直线方程的代数问题的探索，研究了直线几何问题，用代数方法解决了几何问题。在学习了直线与方程的基础上，在《圆与方程》一章中我们用同样的方法建立了圆的方程，把圆与方程联系起来，从而实现了空间形式和数量关系的结合。《圆锥曲线与方程》是解析几何中的重要部分，在整个高中数学中占有很大的篇幅和分量，我们依据圆锥曲线的定义(或者几何特征)，用代数方法对它们进行了研究，从而建立了其标准方程。(2)由数到形。以已知的数量关系为出发点，探索相应几何图形的形状以及性质。以数量关系为手段、几何图形为目的，利用数量的准确度去描述几何图形的某种属性。例如：在《直线与方程》一章中，从直线的方程出发，我们探索了两条直线之间位置关系的判定，两条直线的交点的求法等几何问题。在《圆与方程》一章中，利用圆的方程我们探讨直线与圆、圆与圆的位置关系。《圆锥曲线与方程》一章中，我们从圆锥曲线的标准方程出发，探索了它们的几何性质(包括范围，对称性，顶点以及离心率等等)，通过对这些性质的讨论，我们可以更好的从整体上把握圆锥曲线的形状、大小以及位置等。
2、化归思想方法
转化化归是指通过某种转化，将未知解的问题转化为已有知识范围内容易解决的问题，通常在数量之间、图形之间、数量与图形之间进行转化。常见的转化化归的方法包括：直接转化法、换元法、数形结合法、等价转化法以及特殊化方法。在高中解析几何问题中求取值范围时用到此思想较多。下面以一道例题为例。例2：若点O和点F分别为椭圆x2/4+y2/3=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
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的最大值是多少？解析：该题是求向量数量积的最值问题。设P(x,y)，由数量积的运算及点P在椭圆上，可以将该题转化为求关于x的二次函数的最值问题。由题意可知F(-1,0)，O(0,0)，所以=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+(3-3/4x2)=1/4(x+2)2+2，又因为-2≤x≤2，所以当x=2时，函数取得最大值为6，即的最大值为6。
3、类比思想方法
所谓类比，是指对具有相似性的两个事物的异同进行对照、比较、辨析的一种思想方法。类比既是一种逻辑推理方法，同时也是一种科学研究方法，数学中的很多概念、定理、公式等都是通过类比而得到的，它是数学中最重要的数学思想方法之一。类比思想方法在高中解析几何教学中的运用非常广泛，在教学中教师可以在概念的建立，方程的推导，公式、定理的形成以及知识的运用等过程中培养学生的类比能力。必修课本里研究直线与圆的方程的方法一致：先是探索确定图形位置的几何要素，接着将这些几何要素用代数的方法予以描述，从而得到它们各自相应的方程。二者之间既有联系，也有区别。在教学时教师可以抓住二者的异同来类比，能使知识达到融会贯通。再如教材中探讨直线和圆、圆和圆位置关系的思路和方法一致，在教学中可以着重探究前者，而对于后者则可以借助类比让学生自主探索。
4函数与方程思想
函数与方程是高中数学中的两个重要的概念，二者之间有着密切的联系，方程问题也可以转换为函数问题来求解，反之亦然。函数思想是通过函数的特征建立函数的模型，利用函数的性质进行解题；方程思想对方程概念本质的认识，是通过构建方程或方程组来分析数学问题中变量间的等量关系，或者利用方程的性质去分析、转换、解决问题。例4：设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l：y=x-1与C交于A,B两点，|AB|=8。求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。解析：该题是解析几何能力题，主要考查了抛物线的定义与几何性质，意在考查考生的函数与方程思想的应用。由题意可知可知AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5。设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则
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有关抛物线与直线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若直线过抛物线的焦点，可直接利用公式|AB|=x1+x2+P（或者|AB|=y1+y2+P），若不过抛物线的焦点，则必须利用一般的弦长公式。在解析几何中，函数与方程思想的应用非常广泛，例如：两条直线的位置关系、圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等都是通过建立方程进行求解。在圆锥曲线的问题中，常常是将直线与圆锥曲线方程进行联立，利用韦达定理计算弦长、交点坐标等问题。在利用函数与方程思想解决解析几何问题时，要注意挖掘隐含的等量关系，利用代数的形式加以表示，再利用对方程求解或利用函数的性质达到解决问题的目的。
5、分类讨论思想方法
分类讨论思想方法的内涵是：在解答某数学问题的过程中，若无法对题目中对象统一进行研究，可把题目中所涉及的研究对象按照某分类标准划分为几类，仔细分析每类情况，并总结归纳每类情况的结论，使得原问题得到解决。分类讨论是解析几何内容中应用十分普遍的数学思想方法之一。必修课本里直线一般式方程的讨论，以及直线、圆两两之问位置的确立，选修课本里直线和圆锥曲线公共点的判定都体现了分类讨论思想方法。高中解析几何中常见的需要分类讨论的情形主要包括：第一，由于问题中所涉及的点、直线、曲线等几何元素之间位置关系的不确定所引起的讨论。比如：在研究直线方程时，常按其倾斜角α≠90。与α=90。两种情况进行分类讨论。第二，对于含有参数的解析几何题目，结果会随着参数取值的变化而变化，因而我们必须依据参数的实际背景和意义进行分类讨论。运用分类讨论思想方法求解数学问题的一般步骤是：第一，根据题目要求，鉴别哪个研究对象需要进行分类讨论；第二，依据问题选择合适、统一的分类标准，对研究对象进行分类，将其分成几个等价类，要求做到不重复不遗漏，而且同一类中的相互等价，不同类中的相互不等价；第三，对分类后的各种情况一一进行详细讨论；第四，总结归纳各种情况的结果，使整个数学问题获得解决。
结束语
解析几何作为高高考数学的重要考察内容，对于这类问题的分析和解决是我们教学工作中的重点和难点。因此，在这种情况下，我们要学会运用数学思想，来进行解析几何问题的分析和解答，从而提高学生的解析几何问题解题质量，为学生的高考增加一分保障。
参考文献
[1]徐德明. 高中解析几何知识中数学思想方法的教学策略研究[D].哈尔滨师范大学,2019.
[2]张先波. 中学数学思想的培养研究[D].华中师范大学,2019.
[3]周静媛. 高中数学数形结合思想的教学研究[D].华中师范大学,2019.
[4]方海强. 数形结合思想在高中数学教学中应用现状的调查研究[D].西北师范大学,2019.