李德宝
（陕西省西乡县第一中学，陕西 汉中 723500）
摘 要：本文首先阐述了合情推理在科学研究和高中数学教学中的重要意义，然后介绍了合情推理的涵义以及和演绎推理的关系，接着给出了归纳推理和类比推理这两种基本的合情推理方法，最后结合具体课堂教学实践提出了一种面向高中数学合情推理课堂教学的模式。
关键词：高中数学；合情推理；归纳；类比；课堂教学模式
1、问题的提出
纵观数学发展史，从古代数字的产生到近代各数学分支理论的形成，无不是人们通过观察、实验、归纳、类比、联想、猜想、估算等合情推理方法来发现创造的，而不仅仅是演绎推理的结果。数学理论的形成是人们对在对客观世界进行定性分析和定量把握的基础上，通过归纳、抽象等手段构建模型并最终发展为一个严密逻辑体系的过程。
从上世纪90年代起我国开始倡导素质教育，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》[1]强调了合情推理的作用。作为基础阶段的高中数学教学，不应该是单纯的知识传授过程，而应该是更多的让学生体验像数学家们那样探索发现的过程，即教师通过合情推理的手段将已有的知识内容进行重组优化，继而让学生进行思维上的再创造过程。合情推理教学方式，不仅能使学生通过自身再创造过程获得的知识经验比被动强加的知识更易吸收，而且能有效地激发学生的学习动机，培养学生的创新意识和创新能力，帮助学生解释事物发展的内在规律，对教学有良好的导向作用。
2、合情推理与演绎推理的关系
合情推理的教学理念始于G·波利亚的《数学与猜想》[2]，其内涵是人们根据已有的知识经验，在情感等非智力因素的影响下，运用观察、实验、归纳、类比、联想、猜想、直觉等非完全演绎思维形式，构建关于课题的合乎情理的认知过程[3]。合情推理为人们提供了科学发现、发明创造的有力工具。
演绎推理是从一般性的前提出发，通过推导得出具体结论的过程，它的每一步推理都是严密可靠，它使数学的理论形成了严密的体系，为数学乃至科学的发展起到了至关重要的作用。但演绎推理从本质上讲，不能产生关于世界的任何新事物，不能提供新的知识和理论。
合情推理和演绎推理有着巨大的差异。从形式上看，合情推理没有固定的标准，不能提供完全准确可靠的依据，其结论一般是有风险的、不确定为真的，而演绎推理有明确的依据、可证明的，其结论是可靠的、毋庸置疑的。从发展过程来看，在得到一个定理之前，需要先猜想它的内容，然后在尝试证明的过程中需要进一步猜想可能用到的方法等，即证明过程中也蕴含着猜想。合情推理为演绎推理提供了前期准备，而演绎推理则是合情推理的思想结晶。
因此，从数学理论的产生发展过程来看，两者互为补充，相辅相成，共同构成了数学推理，促进数学理论的发展。
3、合情推理的基本方法
3.1 归纳推理
归纳是个别、特殊到一般的认识过程，是通过对特例或事物的一部分进行观察和综合，进而发现和提出关于一般性结论或规律的过程，是通过揭露对象的部分属性过渡到对象整体属性的过程。归纳的认识依据在于同类事物的各种特殊情形中蕴涵的同一性和相似性。由于不完全归纳推理只考察了事物的部分对象而得出的关于事物的一般性结论，因此结论带有猜测成分，不一定正确，必须加以补充证明或举反例否定。归纳推理的一般过程如下图1所示。
图1 归纳推理的一般过程
由于归纳推理与人们认识事物的过程较为一致，因此易于理解和接受。在高中数学学习中，归纳推理是一种基本的合情推理方法，对于培养学生的创造性思维具有极为重要的作用。
3.2 类比推理
类比推理是从特殊到特殊的推理，是根据两类对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一类对象还具有另外某一属性，从而推理出另一类对象也具有与该属性相同或类似的性质。由于类比推理是通过考察两类对象相似属性的关联程度来推理的，所以推理得出的结论带有一定的猜测成分，不一定正确，须通过推理或实验进行肯定或否定。类比的关键在于找出两类对象之间的相似性，相似性越多，推出的结论越可靠。类比推理的一般过程如下图2所示。
图2 类比推理的一般过程
例如，求取半径为R的球体的体积V的计算公式。就可以采用类比推理的方法引导学生，由于学生已经学过了棱锥体的体积公式为
（其中s为棱锥体的底面积，h为高），那么可以启发学生进行类比，猜想到球体的体积为“球表面积与半径乘积的三分之一”，即
，最后通过证明可得类比推理的结论是正确的。
4、合情推理的课堂教学模式
合情推理的课堂教学模式，就是以数学方法论为指导，从学生原有的经验世界出发，精心组织教学内容，运用合情推理手段，帮助学生自己提出问题、选择方法和探索验证，经过交流和修正，最终有效地构建新的认知结构的课堂教学过程。根据数学发现中的合情推理过程，并结合具体的教学实践，提出了一套合情推理的课堂教学模式，合情推理的课堂教学可分为四个阶段：第一阶段，创设情境，提出问题，激发学生探索欲；第二阶段，合情推理，探索研究。这一阶段是培养学生合情推理能力的主要过程；第三阶段，证明；第四阶段，总结。如下图3所示。
图3 合情推理的课堂教学模式
教师在具体的课堂教学过程中，可根据不同的教学内容和要求、以及学生的思维发展水平，灵活选取其中的某几个关键环节，设计合适的合情推理课堂教学。
5、结论
综上所述，无论是数学理论的发现还是学生学习数学，合情推理都有不可替代的重要作用。在高中数学课堂教学中，教师可参考文中提出的课堂教学模式，采用归纳、类比、联想和直觉等合情推理方法设计合适的合情推理课堂教学过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新思维和意识，帮助学生领悟寻找和发现真理的方法和手段，锻炼学生的分析问题和解决问题的能力。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(实验)[M]. 北京：人民教育出版社,2003.
[2] 乔治·波利亚（美）著. 数学与猜想[M]:第一卷. 李心灿等译. 北京：科学出版社, 2001.
[3] Robert J. Sternberg. The nature of mathematical reasoning [J]. National Council of Teachers of Mathematics, 1999(1).