袁茂恩
沈阳理工大学 110159
摘 要 ：从数集与数轴的关系来看，当数集由实数集扩充到复数集时，对复数的几何表示有复平面，它很适合描述复数，然而在描述复变函数图像方面却存在困难，这说明这种模型还不足以形象揭示复变本质，而且在研究一些实数集方程时发现了实数集方程与坐标系之间存在着矛盾，例如，双曲线的虚轴，抛物线的复根，因为由方程解出的复根在坐标系中没有对应的几何表示，为解决这些问题，文中建立了一个复数轴模型，这种模型的建立恰好解决了上述两个问题，从复数轴模型概念出发观察现有的实数集方程与复变方程（由欧拉公式可得的
可知，两种类型的方程在某方面是统一的）将会发现许多新鲜事物，从而揭示复数轴模型建立的重要性和意义.
关键词 ：复数轴；初等函数；二次曲线；二次曲面
中图分类号 :O174.51
引 言 ：从哲学的角度看，任何事物都并非一成不变，笛卡儿坐标系，高斯复平面，都是经历过一段发展历程的，那么问题来了，这两种模型是否都已经是完美无缺，是否已经达到极至用不着再发展，如果是，这显然不符合事物的发展规律，显然两种模型还要继续发展下去.
为了描述直观四维空间，有人曾幻想在三根相互垂直的数轴中再插入一根数轴与另外三根相互垂直，这显然是做不到的，而在笔者看来，如果说垂直意味着纵横，代表着哲学意义上的对立，那么空间上三根相互垂直的数轴在直观上就已经满足了空间上的对立，再插入的就不应该是一根数轴，而应该是一对对立因子，那么问题是插入什么样的对立因子，我们可以从实数集扩充到复数集中得到启发，这对对立因子就是实数与虚数.
纵观人类数学历史的进程，在从自然集到复数集的发展过程中，数轴的发展显然和数集的发展存在着平行关系，目前对应于实数集方程图像的几何表示模型是笛卡尔的空间直角坐标系，对应于复数集方程图像的几何表示模型是高斯的复平面，在数集的发展中实数集已经被统一到了复数集中，然而在几何表示模型方面却存在着这两种互不兼容的模型，由此可见，两种模型必然要统一到一个体系下，一定会被一种表达更为宽泛的模型所取代.
一方面，复平面用二维平面来描述复数，这种由一维跃升至二维的方式虽可以用平面上任意一点描述复数，但在描述复变函数方程时在直观性上却为此付出代价，即复变函数无法用一个平面或一个三维空间图形来表示[3]，为了挽救这种模型，人们把复变函数的自变量与函数值分别置于两个复平面当中，当然笔者认为这是不直观的.
另一方面，实数集方程与实数轴坐标系之间存在着矛盾，即实数集方程所产生的复根已冲破原有实数集体系，那么相应在实数集体系下所建立的坐标系自然会与方程产生矛盾，从而原有坐标系是需要做进一步的修改的.
再有 , 我们还可以从数轴上的一些数字可以得到启示 , 0与1对立，正数与负数对立，奇数与偶数对立，质数与合数对立，整数与分数对立，有理数与无理数对立，但是它们在直观上有一个共同的特性，那就是都在一条直线上，这就引来一个问题，实数与虚数对立，会不会也在一条直线上呢？
由于以上的原因笔者创建一维复数轴，并将其推广到二，三维直角坐标系，复数轴体系的建立可以很好地用几何图形描述复变函数，同时又能更好地解决实数集方程与原坐标系之间的矛盾.
在正文中笔者将先提出复数轴的概念，再利用辐角旋转变换将指数函数，正余弦函数，以及抛物线方程，圆方程，球面方程等实数集方程拓展到复数集方程，并试着运用复数轴模型来描述方程图像.
1 复数轴
1.1复数轴的建立
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对应于平面及空间直角坐标系中的实向量，那么由复数轴所建立的平面及空间中也有相应的复向量，复向量包含实向量和虚向量，两者同样不可分割，显然实向量是复向量的特殊情形，二三维复向量如图10.
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4复数轴与二次曲面
4.1复数轴与球面方程
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对应于复数轴中是半径为虚数i的虚球，如图16.
至此本文对复数轴的概念模型已基本建立，这里要说明一下文中所说的点是有轴的含义，限于笔者水平，论述过程难免会有错误，欢迎读者前来批评指正.
参考文献
[1] 同济大学数学系编. 高等数学第六版上册[M]. 北京：高等教育出版社，2007.4.
[2] 同济大学数学系编. 高等数学第六版下册[M]. 北京：高等教育出版社，2007.6.
[3] 钟玉泉编. 复变函数论第二版[M]. 北京：高等教育出版社，2002.