常见的三角函数中取值范围的解决方法--中国期刊网

字体：大中小

首页> 原创作品> 正文

常见的三角函数中取值范围的解决方法

发表时间：2021/4/26 来源：《中小学教育》2021年6月1期作者：李舜

[导读] 三角函数是高考的热门考点，也是高考的必考考点。其灵活多变的特点让很多学生在解题中摸不着头脑。本文针对高中数学中较常出现的几个题型，利用整体代换、数形结合的方法，对关于单调性、对称性、最值、零点、极值点等问题中的取值范围进行求解。其中，对不同的题型，笔者提出了一些见解和思路，形成解题方法。

李舜汕头市东厦中学 515000
【摘要】三角函数是高考的热门考点，也是高考的必考考点。其灵活多变的特点让很多学生在解题中摸不着头脑。本文针对高中数学中较常出现的几个题型，利用整体代换、数形结合的方法，对关于单调性、对称性、最值、零点、极值点等问题中的取值范围进行求解。其中，对不同的题型，笔者提出了一些见解和思路，形成解题方法。
【关键词】三角函数、取值范围、整体代换、数形结合
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2021）6-176-02

        为方便讨论，本文只研究的情况，对于其余情形，本方法依然适用。
        一、与单调性有关的题型
        题型一：在（）上是增函数，求的取值范围.
        题型一具备2个特征：
        ⅰ.=0
        ⅱ.区间包含，一般情况下，.
        这种题型难度较小，甚至可以忽略题目中“增函数”这个条件。由于的图象关于原点对称，在原点左右两端增区间的长度也一定对称，因此只需让区间中距离原点较长的区间长度不大于四分之一周期即可。此题型的解答过程只需一步：
        我们可取，令，即，则可解得的取值范围。
        具体例题展示如下：
        例题1 已知，函数在是增函数，求的取值范围。
        解析：显然，所以，即，所以.
        结合以前学过的三角函数图象的伸缩与平移知识，还可以有下面的例题：
        例题2 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若在上为增函数，求的最大值。
        解析：函数的图象向右平移个单位长度，可得.显然，所以，即，所以.
        因此，的最大值为.
        题型二：在上是增函数，求的取值范围.
        题型二取消了对的限制条件，使题目更具有一般性，适用于一般题型。这类题难度不大，但很多学生望而却步，找不到入手点。首先，函数在上是增函数，意味着这个区间长度不得大于半个周期；其次，区间应该是的所有增区间中的某个子区间。
        抓住这两个特征，这种题的解答过程只需两步：
        ①，即
        ②
        结合①②，可求得的取值范围。
        具体例题展示如下：
        例题3 已知函数在区间上单调递增，求的取值范围。

期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆

        解析：我们按照上面的分析，分两步解决这道题
        ①，即，所以
        ②，所以
        综上，解得.
        当题目改为已知函数在上是减函数，此解法依然适用，此时区间应该是的所有减区间中的某个子区间。可看下面的例题：
        例题4已知，函数在区间上单调递减，求的取值范围。
        解析：依然像上题一样，分两步即可解决
        ①，即，所以
        ②，所以
        综上，解得.
        与零点、最值、极值点有关的题型
        题型一：函数在上的最大(小)值为，求的取值范围.
        题型二：函数在上有且仅有(或“至少有”)个零点（极值点），求的取值范围.
        类似这样的题型，我们一般可以设，利用的范围，求出的范围，然后在函数的图象中进行解决。具体例题展示如下：
        例题5 已知，函数在上的最小值为，求的取值范围。
        解析：设，因为，所以，因此，只需即可，解得.
        例题5是仅与最值结合的题型，我们还可以把零点与最值相结合，用同样的方法解题，具体例题展示如下：
        例题6 若函数在上有且仅有3个零点与2个极小值点，求的取值范围。
        解析：设，因为，所以，结合的图象，
        易得，解得.
        与对称性有关的题型
        题型：已知函数，直线为的图象的一条对称轴，求的取值范围.
        类似这样的题型，也许还会跟单调性等结合，但题目给的条件已经可以帮我们缩小范围。只需令，便可以得到的范围，再根据题目给的其他信息进行求解。具体例题展示如下：
        例题7 已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，求的取值。
        解析：令，可得
        再根据前面分析过的，的区间长度不得大于半个周期：
        ，可得。综上，。
        对于高中数学常见的三角函数结合单调性、对称性、零点、最值、极值点等求解取值范围的题型，本人给出了以上一些看法与解法，适用于解决中等难度的三角函数题。大致的解题思想与方法同样适用于。