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初中数学建模之我见

发表时间：2021/4/26 来源：《中小学教育》2021年6月1期作者：黄海芳

[导读] 中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等，我们把运用数学模型解决现实问题的方法统称为应用建模。强化数学建模能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题、解决实际问题的能力。

黄海芳湖北省十堰市郧西县涧池乡九年一贯制学校 442000
【摘要】中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等，我们把运用数学模型解决现实问题的方法统称为应用建模。强化数学建模能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题、解决实际问题的能力。
【关键词】初中数学数学模型数学建模数形结合
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2021）6-196-01

        数学新课标教学大纲中明确提出：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”所以说强化数学建模能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题、解决实际问题的能力。
        数学建模的具体步骤：第一，根据实际问题的特点进行数学抽象，构建恰当的数学模型。第二，对所得到的数学模型，进行逻辑推理或数学演算，求出所需的解答。第三，联系实际问题，对所得到的解答进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，得出实际问题的答案。
        中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等，我们把运用数学模型解决现实问题的方法统称为应用建模。现针对任教内容与大家一起探讨几个常见的数学模型。
        一、方程模型。
        现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型则是研究现实世界数量关系最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、更清晰认识、描述和把握现实世界。
        案例1：一元二次方程中的“平均变化率”问题。为了美化环境，某市加大了对绿化的投资，2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资28.8万元，求这两年绿化投资的平均增长率。
        1.问题分析：假设这两年绿化投资的平均增长率为x，那么2008年用于绿化的投资额为多少元？那么2009年用于绿化的投资额为多少元？
        2.模型建立： 2008年用于绿化的投资额为：20（1+x）。
        2009年用于绿化的投资额为：20（1+x）2。
        根据2009年用于绿化的投资28.8万元，
        得到方程20（1+x）2=28.8。
        如果设起始数据为a，终止数据为b，平均变化率为x，则经过两次增长或降低后得到方程形式为a（1+x）2=b或者a（1-x）2=b。
        二、建立“几何”模型
        几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型”，把实际问题转化为几何问题加以解决。
        案例2：圆中“垂径定理及其推论”的应用问题。
        如图1，一座桥的桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16米，桥拱最深处离水面4米。

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        1）求桥拱半径。
        （2）大雨过后，桥下面河面宽度为12米，水面涨高了多少？
        分析：如图2所示，把实际问题转化成数学问题。（1）求桥拱半径也就是求图中OB的长度。在Rt△BOE中，OE=OG-EG，即为半径与拱高的差，BE即为AB的一半。设桥拱半径为R，根据勾股定理得R2=（R-4）2+82,求得R=10，即桥拱半径为10米。(2)水面涨高的部分即为图中线段EF的长度，它是图中两弦心距OF与OE的差。从一问中能求得OE=10-4=6；OF要在Rt△BOF中求得，OD是10，DF是6，可求OF=8。所以EF=2，即水面涨高了2米。
        三、数形结合建模。
        要搞好数学建模教学，还需要结合数学建模的过程，对能力培养进行分解落实。
        （1）要培养阅读和语言转化能力，这里包括由普通语言抽象为数学文字语言，再抽象为数学符号语言。因为只有出现了符号语言的形式，才能联想和应用相应的数学结构；要培养抽象、概括能力，数学建模实质上也是一个去粗取精、去伪存真、抽象概括的过程。
        （2）要培养数学检索能力，从已有的知识中认定相应的数学模型。这与学生认知结构的好坏有关，不仅需要基本的数学能力，而且带有更大的综合性和灵活性。
        （3）要培养联系实际、全面考虑问题的能力。教学中，只有对上述能力具体落实，数学建模教学才能取得较好的效果。
        数形结合也就是根据相应数学问题的已知条件和结论之间所存在的一种内在联系，不光要分析数量上的关系，还要揭示相应的几何意义，从而将数量关系同几何图形进行巧妙的结合，进而有效利用这种结合，来探求解决相应数学问题的思路，找到解决问题的思考方法。
        数形结合的思想内容一般表现为以下几个方面：① 建立比较恰当的代数模型（一般为方程、函数和不等式模型）；② 建立相应的几何模型（或者是函数图像），进而有效解决有关函数和方程的问题；③ 同函数相关的几何、代数的综合性问题；④ 利用图像形式呈现相应信息的应用问题。
        要想使用数形结合的思想来解决相应的数学问题，就必须找到数和形的恰当的契合点。
        在实际的应用当中，如果单纯的用数来解决问题，就会缺乏相应的直观性，而如果单纯的用形来解决问题，就会缺乏相应的严密性，而将数和形进行有机的结合就能够做到优势互补，从而取得良好的效果。
        在初中数学教学过程当中，如果教师能够有效运用数形结合的方式进行教学，那么就可以有效激发学生学习数学的兴趣，从而培养并提高学生的思维能力，促进学生形成比较好的数学思维能力。
        四、在初中数学教学中数形结合建模的意义
        （一）在教学中渗透数形结合思想，有利于学生运用这种思想分析数学问题的意识
        每名中学生在平常的生活当中都会拥有一些图形方面的知识，例如温度计和它上面的温度刻度，刻度尺和它上面相应的刻度，每天走过的上学和放学的路线也可以当做是一条直线，教室中每名学生的座位等，积极利用学生的这些认识基础，将学生生活中的数和形相结合的例子转移到教学中来，从而在课堂上渗透相应的数形结合思想，并充分挖掘教材所提供的一些机会，有效把握渗透数形结合思想的契机。
        初中数学教师必须积极将生活中的实际问题和探索规律相结合，对学生进行多次的数形结合思想渗透，不断强化初中数学中的数形结合的思想，进而使学生逐渐形成在学习数学的时候有效运用数形结合的意识。而且，教师必须教授学生在运用数形结合的时候要特别注意一些原则，例如到底是知形确数还是知数确形，进行规律探索的时候要从特殊到一般，进而归纳并总结出一般性的结论。