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巧妙求解五类抽象函数定义域

发表时间：2021/4/26 来源：《比较教育研究》2021年4月作者：龚青青

[导读] 抽象函数定义域问题是中学数学的一个难点，尤其是对于高一新生本就刚接触函数，对没有给出具体解析式的抽象函数更加难以理解。本篇文章给出一些求解抽象函数定义域的技巧，可以准确把握抽象函数定义域问题。

龚青青山西省朔州市应县第六中学山西朔州 037600
【摘要】抽象函数定义域问题是中学数学的一个难点，尤其是对于高一新生本就刚接触函数，对没有给出具体解析式的抽象函数更加难以理解。本篇文章给出一些求解抽象函数定义域的技巧，可以准确把握抽象函数定义域问题。
【关键词】抽象函数定义域取值范围
【Abstract】The definition domain of abstract function is a difficult problem in middle school mathematics, especially for freshmen of high school who just touched function, it is more difficult to understand the abstract function without specific analytical formula. In this paper, some techniques of solving the domain of abstract function are given, which can accurately grasp the domain of abstract function.
【Keyword】abstract function definition field value range
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2021）04-148-02

        求解抽象函数的定义域是高中学生接触到函数以后遇到的比较困难的问题。函数对于刚刚接触这部分知识的学生来说就很抽象，而抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，因为抽象，使同学们在解决此类问题时感觉无从下手。而求抽象函数定义域在高考中一般以选择和填空的形式出现，不能忽视。因此，我在解决此类问题时总结了简单好记的两句话，通俗易懂地让学生们进行记忆既简单又加深了学生们的理解。
        首先我们先来看一下这两句话，进行一下理解，然后结合例题进行讲解。第一句话是“一说定义域，说的都是X的取值范围”第二句话是“同一种函数定义下的括号里面整体范围一致”下面我将根据具体例题进行讲解。
        一、已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域
        例1 .已知函数f(x)的定义域为[-2，4]，求函数f(x+6)的定义域。
        分析:根据第一句话“一说定义域，说的都是X的取值范围”，即x的取值范围是[-2，4]。从函数f(x) 到f(x+6)，法则没有发生改变，因此法则的作用范围仍然在[-2，4]，所以x＋6的取值范围仍然是[-2，4]。
        解析:根据题意得
        -2≤x＋6≤4，
        解得-8≤x≤-2。
        所以函数f(x+6)的定义域为[-8，-2]。
        妙手丹青：已知函数f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域是使函数g(x)∈D的x的取值范围
        模式练习：已知f(x)定义域为(-3,5]，求f(2x-1)的定义域。
        解：f(x)定义域为(-3,5]，
        所以x的范围就是(-3,5]。
        根据括号里面的范围一致，把x换成2x-1，
        ∴-3<2x-1≤5, 解得-1<2x≤3.
        ∴f(2x-1)的定义域为(-1,3].
        二、已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域
        例2.已知函数f(x+6)的定义域为[-8，-2]，求函数f(x)的定义域。
        分析:根据第二句话“同一种函数定义下的括号里面整体范围一致”所以对于本题来说，已知中的x+6的范围和要求的x的一致，然后再求解定义域即可。
        解析:∵函数f(x+6)的定义域为[-8，-2]
        ∴-8≤x≤-2 ∴-2≤x+6≤4
        所以要求函数里的x的取值范围也是[-2，4]
        所以函数f(x)的定义域是[-2，4]。
        妙手丹青：已知函数f[g(x)]的定义域为D，求函数f(x)的定义域即为求x∈D时函数g(x)的值域。
        模式练习：已知f(2x-1)定义域为(-3,5]，求f(x)的定义域。
        解析：f(2x-1)定义域为(-3,5]
        ∴-3<x≤5,-7<2x-1≤9.
        即f(x)的定义域为(-7,9].
        三、已知f[g(x)] 的定义域，求f[h(x)] 的定义域
        例3. 已知函数f(x-1)的定义域为[-2，4]，求函数f(x+1)的定义域。

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        分析:根据同一法则下括号里面整体范围一致，我们可以得出x+1和x-1的取值范围一致。而x-1的范围可以由题目条件求出。还需要注意的是给出定义域是给的x的取值范围。
        解析:∵函数f(x-1)的定义域为[-2，4]
        ∴-2≤x≤4
        ∴-3≤x-1≤3
        由题意得：
        x+1的取值范围也是[-3，3]
        ∴-4≤x≤2
        所以函数f(x+1)的定义域为[-4，2]。
        妙手丹青：已知函数f[g(x)]的定义域为D，求函数f[h(x)]的定义域即求x∈D时函数g(x)的范围，即为h(x)的范围，进而求x的取值集合。
        模式练习：已知函数f(x+2)的定义域为[1，4]，求函数f(x-4)的定义域。
        解析: ∵ 函数f(x+2)的定义域为[1，4]
        ∴ 1≤x≤4
        ∴ 3≤x+2≤6
        由题意得     x-4的取值范围也是[3，6]
        ∴ 7≤x≤10
        所以函数f(x-4)的定义域为[7，10]。
        四、求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域
        例4.已知函数f(x)的定义域为[-2，4]，求函数f(x+1)+f(2x)的定义域。
        分析:定义域是指使函数有意义x满足的取值范围，所以我们可以根据前面的方法算出来单个函数的定义域再进行求并集。
        解析:∵函数f(x)的定义域为[-2，4]
        ∴x+1和2x的范围都是[-2，4]
        ∴有-2≤x+1≤4，解得-3≤x≤3
        有-2≤2x≤4，解得-1≤x≤2
        再去求交集，得-1≤x≤2
        所以函数f(x+1)+f(2x)的定义域为[-1，2]。
        抽象函数的定义域难求，难在“抽象”，没有解析式。破解之法：f( )括号里的“含x的代数式”的取值范围都相同，不同的是x的取值范围，而x的取值范围正是所求的定义域。
        模式练习：已知函数f(x)的定义域为[0，5]，求函数f(5x+6)+f(x+1)的定义域。
        解析：∵函数f(x)的定义域为[0，5]
        ∴x+1和5x+6的范围都是[0，5]
        ∴有0≤x+1≤5，解得-1≤x≤4
        有0≤5x+6≤5，解得≤x≤
        再去求交集，得-1≤x≤
        所以函数f(5x+6)+f(x+1)的定义域为[-1，]
        五、等价关系在抽象函数求解定义域的取值范围的应用
        例5.已知函数f(2-x)=，求函数f()的定义域
        分析：函数f(2-x)=的自变量是2-x中的x，通过等价关系先求出函数f(x)的定义域，再求函数f()中自变量x的取值范围。解析：由f(2-x)=，可得，可得到-2≤x≤2，即f(2-x)中自变量x的取值范围是-2≤x≤2。令，则，即函数f(t)的定义域是。
        因为对应法则没有改变，所以这里t等价于，于是可得，即
        所以函数f()的定义域是。
        【小青大招】f(x),f(x+6),f(2x+1),不管括号“（）”内怎么变，其范围都相同，即x、x+6、2x+1范围相同，不同的是各代数式中x，即定义域。
参考文献：
1、曹竟，吴毅.浅析高中抽象函数[J]«高考2018年28期»
2、高永亮.例谈高中数学中的抽象函数问题[J]«中学数学》2018年05期
3、李春琼.巧用函数性质妙解抽象函数问题 «学知报»2011年03月07日
4、刘邦.抽象函数解决方法«宿州教育学院学报»2006（01）
5、王家琰，张军强.等价关系的理论及其在数学中的应用[J]《中学课程辅导》2016年11期
6、陈诚.抽象函数问题分类解析【J】数理化学习；2008（8）
7、杨晓明.抽象函数几个常见性质的证明及其应用【J】《高中数学教与学》2009（9）