周茂林
湖北省利川市第五中学
引言
求函数的函数的最值问题常和求函数的值域紧密相关，函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。
最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。
其中，本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法。
1.判别式法
若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程: 。在时,由于为实数,则有,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。
2.函数的单调性法
当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。
3.均值不等式法
运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。
注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。
4.换元法
用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。
5.几何法
某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种:
5.1可视为直线斜率的函数的最值
5.2可视为距离的函数的最值
5.3可视为曲线截距的函数的最值
6.构造方差法
显然
时取等号）。应用这一公式，可简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广，可以用来求函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。
例6.2（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定最大的实数z，使得实数满足：
以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的六种解法。当然解函数最值问题的方法不止这些,例如:二次函数法,反函数法,配方法等等。这里只是对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待读者去进一步的发现和总结。由于最值问题的解题方法的灵活多样性,所以教师在对最值问题的教学活动中,应重视思想方法的渗透,把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务。