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浅谈提升学生探究思维的命题策略

发表时间：2021/4/28 来源：《现代中小学教育》2021年4月上作者：蔡梦思

[导读] 在数学学习中，教会学生解题简单，但是解决问题的能力提升简单地靠解题经验的累积往往是不够的。在命题中，考虑学生的思维方式，设计问题时可以引导学生进入探究模式，在解题中提升探究思维。本文以一道题的命制为例，浅谈基于提升学生探究思维的命题策略。

浙江温州市绣山中学蔡梦思 325000

摘要：在数学学习中，教会学生解题简单，但是解决问题的能力提升简单地靠解题经验的累积往往是不够的。在命题中，考虑学生的思维方式，设计问题时可以引导学生进入探究模式，在解题中提升探究思维。本文以一道题的命制为例，浅谈基于提升学生探究思维的命题策略。
关键词：探究命题思维
在日常教学中，绝大部分的学生可以应用知识解决基础数学问题，少部分学生也可以灵活应用数学知识将一些简单情境的实际问题转化成数学模型，用数学方法解决。但事实上，从各类赛事或生活实际中，我们会发现，学生面对稍微复杂的实际问题，在建模和解决方面都会遇到很大的阻碍。由此可见，日常解题教学中，要注意提升学生解决问题的能力和探究思维。想要达成这一目的，在命题时就应该有意识地让设计的问题向学神渗透探究问题的一般方法或是有效地考查学生应用知识的能力。下面，就以一个基本图形为基础，浅谈提升学生探究能力的命题策略。

        如图，在Rt△ABC中，E为斜边AC的中点，以AC为底在其上方作等腰直角三角形ADC，连结BD，BE，DE．图形中蕴含许多基本图形，像等腰直角三角形、直角三角形、等腰三角形、蝴蝶形、轴对称图形等。根据直角三角形斜边上中线的性质，得到结论DE=BE=AE=CE，图中出现了多个等腰三角形。尤其精彩的是，图中BD其实是∠ABC的角平分线，所以在这个不固定的图形中，多个角度之间存在着一定的数量关系。以此为命题起点，可从问题解决形式、解决问题蕴含的数学思想来提升学生的探究能力和应用能力。
        一、以探究形式呈现问题，开放数学探究
        基于以上对图形中不变量的分析，可以从探究∠DBE与∠ACB之间的数量关系入手，给定∠ACB的度数的几个具体值，让学生计算∠DBE的度数。要求学生通过观察猜想∠DBE与∠ACB之间的数量关系，发现∠DBE+∠ACB=45°，并证明猜想。在这个过程中，学生经历探究问题的过程“发现—猜想—论证”，渗透从特殊到一般的数学思想，也发现了两个角之间的函数关系，体现函数思想。不过在这个图形中，要对AB<BC和AB>BC两种情况进行分类讨论，避免分类讨论对探究过程带来不必要的干扰，可以限制在AB<BC的情况下先进行探究。此时，学生已然可以发现，此图中隐藏的重要的不变量，即BD始终是∠ABC的角平分线。在这个理解基础上，可以在第二问中给两个相关角之间的关系，比如∠ABD和∠DBE的和等，要求学生对AB<BC和AB>BC两种情况进行分类讨论，体现异质分类，也将第一题中的结论进行应用，完善探究的最后一环“应用”。
        在命题中，以开放探究的形式向学生渗透了解决问题的一般步骤：发现—猜想—论证—应用，体现了从特殊到一般的数学思想，也再一次巩固了探究问题的探究技能。当然，此类问题最好能为后续铺垫，挖掘出动态图形中的不变量或是体现某一些固定值。在接下来的应用中，要使结论能成为解题关键，体现探究的价值。
        二、以解决问题渗透思想，提升数学思维
        在设计开放探究让学生实践探究的过程中，不仅体现了从特殊到一般的数学思想以及函数思想，还体现了分类思想。第二问需要借助第一题探究的结论，发现BD是角平分线后，第一种情况AB>BC时，可以直接算得∠DBE是22.5°，第二种情况是AB<BC的时候，需要学生继续探究，虽然BD仍然是角平分线，第一题中探究的两个角之间的关系，由和为45°变成差为45°。这种分类仍在考查学生的探究能力，让学生在图形异质分类中，对比异同，延续核心思想，让学生基于第一题结论，产生猜想，并模仿第一种情况的探究过程继续探究第二种情况，实践探究问题的一般步骤。从学习探究到模仿探究，思维得到第一次升阶。
        在图形变化中，有一种特殊情况的存在，当BD=BC时，△BCD会是等腰三角形，可以借此让学生感受轴对称性的应用，利用轴对称性这一美妙的性质再一次让学生得到思维提升。第三问可设BD交AC于点G，射线BE交CD于点F，再设置点F为中点，让学生自主挖掘出新产生的轴对称图形。利用轴对称性和三角形中线性质，或是利用推论BE//AD，可得△ABE，△BCE，△BDE三个三角形的面积相等，则可得△ABG，△GDE这两个三角形面积相等。利用这一图形特点，可以在第三问中渗透整体思想。给出△CDG与△ABG的面积之差，其实就是给出等腰直角三角形DEC的面积，图中关键三角形的底和高都可以算出来，在浙教版八年级的背景下，计算所依据的法则均未超纲。再辞基础上，求任意三角形或是整个四边形的面积都是可行的。学生在解决这个问题的过程中，体会了了函数思想、分类讨论思想、整体思想，几何推理能力、逻辑思维能力、解决问题的能力都会得到提升。
        在命题中，关注图形的特点或是数据的特点，可以巧妙设计，渗透整体思想、方程思想等等，经历了这些思想的运用，学生的思维可以再次升阶。
        此外，在命题中，体现图形的轴对称美，体现动态变化过程中的不动结构或是不变量，数形结合，能更好地呈现数学的美学感。