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高中数学函数学习中如何运用化归思想

发表时间：2021/4/28 来源：《现代中小学教育》2021年4月上作者：张丽秋

[导读] 化归思想是高中函数中重要的数学思想方法，一方面使学生快速掌握理论知识，另一方面促进提升学生的数学思维能力，从而更好的学习函数课程。本文对高中数学函数学习中如何运用化归思想进行分析。

浙江省苍南县灵溪中学（苍南县三禾高级中学）张丽秋 325800

摘要：化归思想是高中函数中重要的数学思想方法，一方面使学生快速掌握理论知识，另一方面促进提升学生的数学思维能力，从而更好的学习函数课程。本文对高中数学函数学习中如何运用化归思想进行分析。
关键词：划归思想；高中数学；函数学习
        引言：高中数学函数学习是区别于小学、初中数学系列课程学习更复杂的课程，从难易程度上来讲属于数学学习课程的分水岭之一，依托于函数学习在以后新知识的基础性和普遍性，高中数学函数学习尤为重要。
        一、运用化归思想提升学生函数学习化繁为简的转化力
        大多数人在数学思维的养成上没有经历正确的引导，大多以自我摸索为主，或者是理论知识的单枪直入，类似掌握各种点状知识，但这些点状没有成线成型的话，很容易出现“我识题但不会解题”的现象，没有解题思路的话，对数学知识的后续学习是很不利的。从本质上来讲，化归思想的本质更偏向于转化，这种转化的力量来源于其本身的彻底性和规范化，简单来说就是在面临函数问题时，化归思想利用未知问题转化成已知条件，将陌生的数学问题进行陌生到熟悉的转变，再根据问题的给出进行未知到已知的转变，让解题环境转化成对学生有利的环境，也就是教师在教学过程中常说的问题简单化，从而整体提升自己的函数能力，最终达到数学思维的塑造。
        例如面对正切、余切、正弦、余弦函数周期性教学问题，教师在讲解这部分知识大多会采用化归思想对学生进行数学思维的引导，通过掌握余弦函数、正弦函数的规律，在两者周期都是2π的情况下，利用这两种函数的周期推导正切函数的周期，依次寻找问题解答规律。这也就是化归思想中化繁为简的优势，尽管其本身带着复杂的特性，但无论是教师教学还是学生学习，只要加以训练，都是比较好引导和掌握的。
        二、运用化归思想培养学生函数学习抽象到直观的转化力
        在数学知识的获取中，究其灵活性，我们是很难将所学的内容整体化起来，以至于学生觉得自己面对这门课程没有知识体系，容易出现知识提取混乱的状况，再加上高中数学的难度可以说是较高的，实际上还是问题的愈发抽象化，大多数人面临的环境都是逻辑且理论性的，灵活度不限于解决抽象性问题，由此缺少数学思维的支撑，导致很多学生在高中数学的学习中略显吃力，卖力钻研题海战术，不可否认各类题型尝试后对理论知识的加强有一定帮助，但题海战术里找寻举一反三之理确是很艰难的，而且大量的题海已经让学生的精神压力和脑力的负担不断加重，这就会直接影响数学学习的整体效果。再加上数学函数部分的学习更需要技巧，要知道，数学这门课程本身就是相对灵活的课程，举一反三是解题常态，抽象问题转化成直观问题，更要依托化归思想的学习和培养，帮助学生减少学习负担。而对于教师来说，在高中数学函数部分的教学中，更希望学生利用化归思想进行抽象直观的不断转化，从而合理的分析问题，使抽象的函数知识在学生获取的过程中具备形、色、声，理论在化归思想的帮助下充分延展和渗透。形成点到线，线到面的覆盖。

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        例如f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间【-∞，4】上是减少的，那么实数a的取值范围是（）
        A、a≤-3
        B、a≥-3
        C、a≤5
        D、a≥5
        通过观察题目方程式可以得出，作为一道典型的二次函数问题，很容易运用到划归思想，回归题目，将函数进行抽象到直观的转化，f(x)=x^2+2(a-1)x+2＝〔x+(a-1)〕^2+2-(a-1)^2是开口向上的抛物线。对称轴为1－a，所以区间(-∞.4)内是减函数=>区间【-∞，4】在x＝1-a的左边，所以1-a≥4，a≤-3，此道题选A。
        三、运用化归思想拓展学生函数学习正面到反面的转化力
        实际上，化归思想在正反层面的转化对于降低难度起到重要的辅助作用，简单来说就是降低函数知识的难度，同时增强举一反三的能力，在这样基础上，对培养数学思维也有较大帮助，数学思维的建立有助于激发学生们学习数学的兴趣，有些数学问题，正面解答的话很容易遇到解题瓶颈，造成学习思想受阻，这个时候我们利用化归思想的反作用力，将数学问题的正面转化为反面，也就是常说的不同角度入手解题，诸如很多问题有不同的解法是一样的，函数学习本身具备灵活性，结合化归思想正反面转化，运用到函数知识掌握中更显灵活，提升函数解题能力是这类方式方法的根本，利用方式方法的灵活性掌控数学思维的灵活性，最终将学生的分析能力激发出来，这点和英语学习中的语感培养同理，学生在化归思想正反转化的优势帮助下，解题思路不再单一化。不少教师在教学过程中也发现，函数问题的解答三个同学可能有大于三种解题思路，被化归思想赋予的间接解题法有助于学生对数学思维的探索，提高学习兴趣。利用反面深入进行正面突破，也是函数学习的重要性质之一，教师在教学中常常以主动被动性进行引导，由此提高学生对数学函数学习的深刻理解，减轻学生的学习负担同时化解学生在学习数学函数中的“恐惧”心理。正如此类优势在函数数学教学的图像问题，对称问题上皆有所用，包括函数图像关于x轴或y轴对称、两函数之间的对称，反比例函数，三角函数等，后续还会学习相对高阶的函数，尤其在遇到复合函数时，正反面转化的简化方式更容易彰显，包括利用题根转化的方式来进行问题解剖，为接下来各类函数知识更好的学习打下基础。
        例如：若af(2x-3)+bf(3-2x)=2x(a2≠b2，a≠0)，求f（x）的解析式。
        通过分析题干f(2x-3)+bf(3-2x)=2x，在(a2≠b2，a≠0)的条件下，用纯粹的数字和推理计算几乎无头绪，利用化归思想正面向反面转化的优势，将x进行反向替换为3-x，并带入得到af(3-2x)+bf(2x-3)=6-2x，在此基础上将其相差替换，得出f(2x-3)=[2ax-b(6-2x)]/(a^2-b^2)，令2x=y+3,代入得到：f(y)=[a(y+3)-b(6-y-3)]/(a^2-b^2)=y/(a-b)+3/(a+b)，所以f(x)=x/(a-b)+3/(a+b)
        结论：化归思想利用其自身独特的熟悉化、简单化、直观化等特性打开学生在学习数学函数的思维，将点状理论的知识点连成线，甚至成型，加强学生对数学函数更深认识，更有利的是对培养学生以后的解题敏感性也有重要影响。
参考文献：
[1]史林可.化归思想在高中数学函数学习中的运用[J].科风,2017(03):205.
[2]王新兵．化归思想在高中数学函数解题中的应用.
[3]中学生理科应试，2016(3):8－9．［3］李昀晟．化归思想在高中数学解题过程中的应用分析［J］．数学理论与应用，2015(14):124－128．