蒲小丽
浙江省杭州市长青小学
摘 要： 带余除法中的“=”与之前学习的等号（=）有很大的区别，是一个与等号不相同的记号。本文借助认识同余的概念，以及同余中的模（），更好地理解带余除法以及带余除法中的“=”。
关键词： 带余除法 等号 商不变性质 同余 模
一、一般意义上的等号
人教版、北师大版、苏教版等各个版本的教材基本上都是在一年级上册就开始出现了等号（=），是学生较早认识的数学符号，代表同样多的意思。一开始，学生接触的等号（=）左右两边都是数，如1+2=3,1+4=2+3等。到小学高年级，学生开始接触x+100=250，6x=12,这种含有未知数的等式,等号（=）左右两边有可能是数，也有可能是量。
因此，几乎所有的小学生只要看到等号（=），都会认为等号（=）两边是同样多的数或者是同样多的量。等号两边的数或者量互相交换后，式子仍然成立。即，
这样的认识，对于一般的等号是没有问题的，但是在带余除法（即有余数的除法）中，会出现问题。
二、带余除法中的“=”
《数学》二年级下第一次出现带余除法：将7个草莓摆到盘子里，每2个摆一盘，可以摆3盘，还剩1个。一个整数除以另一个不为 0的整数，得到整数商后还有余数；通常写作：
。读作 “a除以 b等于 q余 r”。 a叫作被除数 ，b叫作除数 ，求得的整数 q叫作不完全商 (也可以简称商 )，r叫作余数。
带余除法，在初等数论中有另一种表述方式：对于一对整数 a， b(b≠ 0)，存在唯一确定的整数q和r 满足 ：a=bq+r，
，这样的运算叫作有余数的除法 ，也叫作带余除法 。也就是说，带余除法是定义在自然数集上的一种运算，只要除数不为 0，不完全商和余数都存在 ，并且都是唯一的。
带余除法中“=”两边的式子可以互相交换吗？我们都知道是不能交换的，也没见过这样的式子。那为什么不能交换呢？
其实，带余除法中的“=”两边不都是确定的数。带余除法中“=”的左边是一个算式，其结果可以用一个确定的数表示，但是“=”的右边却不是一个确定的数，只是“=”左边的算式的结果的另一种表示方式。如:
这三个带余除法算式的“=”右边都是，但“=”左边的三个式子表示不同的数。
所以，带余除法中“=”两边的式子是不可以互相交换的。也就是说，带余除法中的“=”与之前学习的等号有很大的区别，是一个与等号不相同的记号。
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小学五年级下册经常会遇到一个与带余除法相关的问题，即《孙子算经》中“物不知其数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？题目的意思是一个整数除以 3 余 2， 除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个整数。
在小学阶段，一般都是用下面的方法解答。分别写出除以3余数是2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26…；除以5余数是3 的数：3、8、13、18、23、28…；除以7余数是2的数：2、9、16、23、30…。
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其实，这就是初等数论中的一个概念，同余。
三、同余中的“”及其与带余除法的联系
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我们可以运用剩余定理解这个一次同余方程，这里不详述，有兴趣的可以查阅参考文献2第1章第4节这个剩余定理。
所以，把所有的整数进行分类这个角度看，带余除法的效果和同余的效果是一致的。
参考文献
1.代数学引论[M].聂灵沼，丁石孙.北京：高等教育出版社，2000.
2.代数与通信[M].冯克勤，刘凤梅.北京：高等教育出版社，2005.
3.“带余除法”与“除法”[J].贲有林.教育视界2016(8).