易斌
桂林市第十八中学 广西壮族自治区 桂林市 541004
【摘要】本文对二项式定理的教学设计以问题串启思,让学生通过独立思考、小组合作探究、展示交流等方式发现二项式展开式的次数、项数、系数的规律.使学生在知识生成的过程中,自然地获得“四基”,提升“四能”,发展“核心素养”.
【关键词】二项式定理 教学设计
二项式定理的教学，是培养学生观察、发现、归纳等数学能力，发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养的良好的契机，下面提供一个成熟的教学设计，供同仁参考。
一、教材分析
1.本课数学内容的本质：
计数原理的延伸及多项式乘法的深化与再认识。
2.本课数学内容的地位：
二项式定理是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也为后继学习的概率与统计，作知识上的铺垫。
3.本课数学内容的作用：
二项展开式从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识，是解决近似计算、整除问题、不等式证明等数学问题的工具。
二、教学目标
1.理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，并进行相应的变形与计算。
2.培养学生观察、发现、归纳、猜想能力，提高学生发现问题，提出问题的能力，体验从特殊到一般，再从一般到特殊的科学探索方式，渗透转化与化归，特殊与一般的数学思想.
3.让学生感受和体验数学的简洁美与对称美，发展学生逻辑推理、数学抽象等核心素养。
三、教学重点与难点：
1.教学重点：理解和掌握二项展开式的规律，利用二项展开式对二项式进行展开计算。
2.教学难点：二项展开式的规律的理解和掌握。
四、教学方法：
问题链导学、启发式探究、互动式归纳。
五、教学过程/步骤
1.新课导入
(1)问题链设计：
问题1：
问题2：
问题3：
问题4：
(2)学生活动设计：
主要是学生自由回答，第2个问题可以进行简单计算后回答。
(3)设计意图：
“旧问题新发现”:用新角度去思考旧问题，激发学生探究问题、发现规律的动力。问1学生能快速回答，问2计算一下也可以回答，问3也可以计算但麻烦，问4算不出，引起认知冲突与矛盾，激发学生主动探寻展开的规律。
2.问题探究
(1)探究一 推导的展开式
①问题链设计：
问题1：要得到展开式，应注意展开式的哪些方面？
问题2：的展开式中含有哪些项？
问题3：观察这些项，有什么规律？（总结出一般形式,k=0,1,2,3）
问题4：这些项对应的系数分别是什么？（学生答：的系数是1，但对系数不确定）
下面重点探究含项的系数
问题5：观察这些项对应的系数，有什么规律？（总结出一般形式）
问题6：综上，我们能否得到的展开式？
（以上是主要问题，实际过程中还会根据情况设计适当的口头提问，下同）
②学生活动设计：
问题1自由回答；问题2集体回答；问题3自由回答或个别代表全部作答；问题4互相交流后选个别代表作答；问题5、6集体回答.
③设计意图：
培养学生观察、归纳、分析、总结的能力,以及从特殊到一般的思想方法，并初步掌握二项展开式的项与系数的特点。问题4是为了突破第一个难点：“如何用计数原理分析二项展开式系数”而设计的，以问题链的形式进行启发和引导 ，层层递进，紧扣主题。
(2)探究二 仿照上述过程，推导的展开式
①问题链与活动设计：
问题7：你能否推导的展开式？
在学生进行探究活动后展示：
（此处可根据学生的掌握情况临时设计“推导的展开式”的问题，采用抽查形式检测教学效果）
问题8： 猜想的展开式
（学生们思考后得到）
同时板书（中间留空）：
问题9： 展开式中的所有项有没有一般形式？
（学生们思考后说有：，引导k的取值范围）
问题10：也就是说，我们抓住这个形式，就能知道展开式中的所有项，那么如果给这个形式起个名字可以叫？（二项展开式的通项）
问题11：可以知道是展开式中的第几项吗？
同时板书完善：
②学生活动设计：
问题7 让学生试写展开式，选出个别学生的成果展示并由学生点评，再投影显示展开式.
问题8由学生自主思考后互相检查，再点评。问题9，10集体回答，问题11由学生自主思考后集体回答.
③设计意图：
问题7是使学生掌握展开方法的关键点，通过“生生互动，师生互动”完成展开式的
展开过程。问题8趁势追击提出本课核心问题。问题9突出通项的形式和作用。问题11突出通项对应的第几项问题，突破小难点。
(3)探究三 请分析的展开过程，证明猜想
①问题链与活动设计：
问题12：的展开式中含有哪些项？一般形式是？
问题13：这些项对应的系数是？一般形式是？
问题14：展开式中的系数是怎么来的？
启发：是从个中取个，和余下个相乘得到的，有种情况可以得到，因此，该项的系数为.
投影：提出二项式定理的概念（幻灯片展示）
问题15：能不能总结二项展开式的展开特点？
点拨：二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间推广．
②学生活动设计：
问题12，13集体回答；问题14在教师启发下，让学生思考交流后回答，并投影得出系数过程；问题15让学生分小组讨论，再选代表回答.
③设计意图：
问题14使学生会用“计数原理”分析二项展开式系数得出过程，培养学生发现、归纳能力，发展学生数学抽象，逻辑推理等核心素养。问题15是合作学习的好契机，通过合作学习活动，形成学生主动参与，自主与合作探究的课堂气氛，提高学生总结规律的能力。通过教师对数学史简介和定理的发现补充说明，鼓励学生由“小问题”得到 “大发现”，增强学习成就感，再次激发学生的学习兴趣和点燃学生的创造精神。
3.应用举例
(1)问题链与例题设计：
问题16：在二项式定理中，a与b可以指代什么？
点拨：定理中的仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子。
例1：求的展开式
启发：写出展开式时把哪个数或式子分别看作？。
例2：对二项式
①写出并化简展开式中的第三项；
②写出二项展开式.
点评1：写出展开式时把哪个数或式子分别看作？
点评2：写出展开式的难点是什么？
点评3：还有没有更简洁的展开方法？
(2)学生活动设计：
问题16由教师启发，学生思考后回答。例题先让学生独立完成，教师巡视辅导，个别成果展示并集体点评。
(3)设计意图：
例题设计基于对教材要求的理解：第一课时主要突出二项式如何展开，要求学生会展开，并能得出特定项。而处理“二项式系数”与“展开式的系数”的区分问题可以划归到第二课时。而例1与例2主要处理含有分数幂的二项式的展开问题，教学时把例1适当改编，让学生更容易巩固展开式的特点。例2也对课本例2进行改编，铺设台阶，同时分离难点：指数幂的形式与运算，课本介绍的“先变形再展开”的方法可根据实际情况酌情选讲。
4.课堂小结
(1)问题链设计：说说今天大家学到了什么？（引导从知识方面，思想方法方面总结）
(2)学生活动设计：以问题的形式帮助学生回顾本节课的主要内容，学生相互补充完整，师生共同归纳总结。
(3)设计意图：进一步使学生升华对二项式定理的认识，使学生的思维有层次，有高度，培养学生的综合概括能力。
5.作业
(1)问题链设计：巩固型作业：课本习题。
思维拓展型作业：探究二项式系数有何性质.
(2)设计意图：巩固本节课所学的内容。
[参考文献]
[1]二项式定理[J].赵攀峰.数学教学通讯.2015(05)
[2]从数学理解的角度探究“二项式定理”教学[J].刘政彪.数学学习与研究.2016(21)
[3]二项式定理及其应用[J].朱德意.中学数学教学参考.2019(10)
[4]“二项式定理”教学设计[J].刘志诚.中国数学教育.2019(10)