倪灿东
浙江省杭州市萧山区万向小学 311215
【摘要】推理能力的发展应应该说贯穿于整个数学学习过程中。笔者通过对推理的本质解读以及对推理形式进行分析的基础上，结合教材内容进行数学学习中的推理梳理，并通过教学实践，结合情境经历问题提出，充分发挥合情推理，适时开展演绎推理，体会到推理是数学的基本思维方式，也是学习和生活中问题解决常用的思维方式。
【关键词】推理；合情推理；问题提出；推理能力
何为推理？推理的形式又有哪些？简言之，推理是根据已知判断（前提）得出未知判断（结论）的思维过程。在《数学课程标准（2011年版）》中提出：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。而且推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。那么如何发展学生的推理能力，使之成为学生必备的能力之一？笔者结合《质数与合数》一课进行了思考和实践。
在质数和合数的世界里充满了神奇的数学魅力，著名的“哥德巴赫猜想”就是拿数学王冠上的明珠。而在小学阶段，《质数与合数》一课是学生在因数、倍数的基础上初步掌握质数、合数的概念，为后面学习求最大公因数、最小公倍数以及约分、通分打下基础。就概念教学而言，质数和合数的概念对于学生而言并不困难，但是如何自主探索和有效地进行概念区分则需要借助问题情境的创设、经历问题提出的过程并运用数学语言进行逻辑推理。
一、在鼓励猜想中激发学生推理动力
众所周知，作为一种思维活动的推理，它的本质理解是从已有知识得出新知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的新知识。可见，推理源于问题解决的需要，本质在于利用“已知判断推出未知判断”，而从已知到未知这一思维跨越往往离不开猜想，它是推理的不竭动力。对比实验版和2011版，人教版教材在《质数与合数》一课的课时编排和教学组织上并没有变化，强调让学生找出1-20各数的全部因数，然后按照各个数的因数的个数进行分类。在此基础上给出质数和合数的概念。
笔者也收集一些教学设计，问题情境导入大致可以分为这样几类：基于教材，在1-20数的因数复习、列举中分类；基于学材，由班级学生的学号出发，复习因数、分类比较；基于问题，从形到数，多个正方形拼长方形，在等面积的因数组合里分析、对比积的不同。无论设计怎么不同，基本策略还是为了通过小范围的研究，借助观察、比较和猜想获得因数的个数不同可以对数进行分类，进而类推质数和合数的概念。
笔者在课前组织学生写下自己学号，并鼓励学生用学过的数学知识来说说自己的学号。结合学生回答，引导学生写出自己学号的所有因数，有选择性地展示部分学生学号的因数并提问。
【教学模块一】 由学号引发数的猜想
师：同学们，观察这些学号的因数，你觉得我们可以研究哪些问题？
生1：这些数的因数都有什么共同点？
生2：这些数的因数个数有1个，也有2个，还有3个，可不可以分一分类？
生3：为什么因数的个数会不同？
.....
打开学生的猜想后就要捕捉整理学生的问题适时提炼问题指向。
师：同学们提出了几个很有研究价值的问题，这几个问题其实指向的是同一个问题？因数个数的特征，我们可以怎么研究呢？（我们是不是可以试着分一分类，你是怎么想的？）
生1:我觉得可以分为两类（因数只有1和它本身，有两个以上因数的，除了1和它本身以外还有别的因数）
生2：我觉得可以分为三类。（只有1一个因数，只有1和它本身两个因数的数，有两个以上因数的，除了1和它本身以外还有别的因数）
师：带着你的想法，能上来分一分吗？
学生推理的动力来源于什么？兴趣和猜想。鼓励学生猜想，就是应当引导学生以事实、经验为基础，有个别到一般，发现问题提出问题，大大“假设”。因为，儿童天生敢想、敢说，喜欢问问题，这是有利于数学猜想的心理优势。当然，任何推理问题都是推理形式和推理内容两方面构成的。以自己学号为推理内容，以数的介绍为推理形成，激发他们的想象。实践证明，能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例是推理的主要表现形式之一。
二、在启发说理中培养学生推理能力
启发学生说理，是培养推理能力初级教学阶段最主要的手段与基本途径。“归纳”是由特殊到一般的推理。在教学中，教师要有意识地设计一些让学生自主地、无意识的学习行为，即在尝试、探究过程中使用尚未学习的数学知识来分类、归纳、说理，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据。
【教学模块二】 由分类引发的推理
学生根据观察、比较、猜想将学号的数进行了分类，这个过程是合情推理的开始，也是教师“留白”所期待的合情推理。
师：根据因数的个数，大家这些学号分成了三类。（4、14、20）这一类数的共同特征是什么？
生：因数的个数有2个以上。
师：是的，我们把有两个以上因数的数叫做合数。（2、5、7、13、37）这一类数的共同特征又是什么？这一类数叫什么数？
生：只有1和它本身两个因数，叫质数。
师：是的。（1）它是什么数？它有什么特征。
生：1既不是质数也不是合数，因为它只有一个因数。
师：所以把1单独一类。根据因数个数的不同分为了这样三类。现在请学号没有贴到黑板上的同学来说一说你的学号是什么数？为什么？
师：学号35的同学来说一说？
生：35是我的学号，它是一个合数，因为35的因数有1、35、5、7。
师：你来说一说学号31是什么数？
生：31是的因数只有1和31，所以31是一个质数。
师：回答得真完整！同学们，你们知道今天听课老师有几人吗？165，是质数还是合数呢？
生：165是合数，因为它是5的倍数，因数肯定含有1、5、165，三个因数。
师：没有一一列举，用5的倍数特征来判断是个好方法。
接着教师继续组织学生判断诸如手机号138*******0和206421这样的大数是不是质数。在经验积累中，学生推理出不需要把它所有的因数都找出来就可以判断质数还是合数。
很多数学的发现要归功于合情推理，而合情推理的开始就是基于归纳和类比的猜测。教学中，学生在分析因数个数特征的过程中，理解质数与合数的概念，接下去“猜想——归纳——说理”过程，辨析质数与合数的联系和区别，能灵活的选择方法判断，不仅丰富合情推理，还上演了演绎推理。可见，经历问题提出—猜想—探究—验证—再思考等数学活动，学生的学习观察、分析、归纳、推理等数学策略和能力自然得到发展。
三、在专项训练中形成学生推理持续力
推理的本质告诉我们，无论多少个例证、多少次检验支持结论，都不能确认它是正确，但这可以归属为科学归纳推理范畴。基于小学生的知识水平，科学归纳推理应当足够重视，并有意识的专项训练。只有不断讨论“为什么”，找出必然联系，将简单枚举导向科学归纳，才有理由肯定结论，为日后走向演绎推理埋下伏笔。
【教学模块三】 由百数图引发持续推理
教师根据学生的发现，并提问：刚才我们运用2、5、3的倍数的特征对一些数是质数还是合数进行了判断，你觉得接下来我们可以一起研究什么问题？
学生比较感兴趣的问题大致可以分为下面两个方面；
（1）是不是所有的数都可以用2、5、3的倍数特征来判断？
（2）哪些不能马上判断的数有什么方法可以判断？
待学生问题提出的基础上，教师肯定提出的这2个很有研究价值的问题。并自然过渡到：我们要解决这几个问题，需要研究更多的数——出示百数图。
师：在百数图上，你能找出所有的质数吗？你打算怎么找？
生1：我是一个个判断的
师：你的毅力很强，一个大工程。有更快更有效的方法吗？
生2：可以分别用2，3，5等这些数去除
师：这是一个不错的想法。也就是先排除2、3、5的倍数。
生：找出所有合数，剩下的数都是质数（这句话有问题么？1既不是质数也不是合数，它是单独一类。）
师：找到合数和1，剩下的就是质数？那带着你们的这些想法，用直接划掉的方法去掉你说的那些数，用铅笔找出100以内的质数。
在学生第一次尝试后，教师马上要组织学生进一步讨论：用刚才说的划去2、3、5的多倍数后，剩下的数都是质数？学生发现还要补充把7的多倍数划去。这时教师还可以继续提问学生去思考：那是不是只要划去2、3、5、7的倍数（这些合数）以后剩下的数都是质数了呢?并比较跟之前讨论的方法多了什么新的内容。在师生的共同探究下，形成方法的归纳：划去了1，划去了2、5、3、7的倍数（合数），用筛选的方法，找到了质数，制成了质数表。
在问题为导向的专项性训练中，学生的推理能力集中表现在认真观察、分析比较中，能合理分类与分析概括并提高发现问题、提出问题和解决问题的能力。找出百数图里的质数只是一个问题驱动，方法的探究则是学生发现问题、解决问题，形成持续推理能力的体现。教师要继续引导学生探究质数表的特征，让学生找找有什么发现，并追问：如果再增加一行，你觉得质数会在哪几列？你有什么办法判断它是不是质数？于是学生会形成这样的经验：在质数和合数判断中，随着数的增加，2、3、5的倍数特征有时会有遗漏，还要补充7的倍数特征，11的倍数特征等。借助已有的质数，利用筛选法，可以不断去寻找更多的质数。熟悉20以内的质数、记忆100以内的质数也就会成为学生自然的需要。借助在百数图里进行找质数的专项训练，形成学生从已知世界走向未知世界的持续推理。
加强推理能力的培养，不仅是对学生培养的需要，也对数学教师的自身素养提出了更高的要求。课堂是一个即兴生成的动态，学生的片言只语浓缩了他们的数学理解，教师的立即反应和自如应对能力，将儿童思维表达与数学的表达展现出来，则绝非一日之功。作为教师，必须不断增强自身的数学素养，不断提高理解、把握学生思维及其语言的能力，深入浅出地揭示教学内容所蕴含的推理因素，进而达成培养学生推理能力的最终目标。