尚迪
广东省深圳市福田区红岭中学石厦初中部（518000）
摘要：通过对中国古代数学游戏—九连环的介绍，让学生感受九连环中蕴含的丰富数学知识，然后让学生自行进行关于九连环的一系列问题的探究活动，经历整个问题解决的环节，感受数学游戏中的魅力，从而真正做到把数学文化内化于心、充分吸收数学文化中提供的养分。
关键词：数学游戏；九连环；数列
2020年，教育部印发的《普通高中数学课程标准（2017年）版2020年修订》在课程的设计依据中再次强调我们要“依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化”。其实从2001年，我国课程改革中对于数学文化就愈发重视起来，大量研究表明，数学文化可以激发学生的学习兴趣、扩宽学生的视野、感受无处不在的数学，对于我国数学历史的研究还能提高学生的民族认同感，激发学生想要在数学学科上为国争光的斗志。
数学文化中很重要的一个部分就是数学游戏，中国古代数学中，就有很多智力玩具，九连环就是极具代表性的一种数学游戏，本节课借助人教版高中必修五数列一章后的阅读材料，在学生学习了数列知识后，拓展加入有关九连环的知识。
1课堂教学过程
1.1 了解背景，实物操作
利用多媒体设备，从《战国策-齐策》这一篇引入，讲述最早关于“九连环”存在的文献记录。在宋代，九连环就已经流行起来了，至今已有八百年的历史。其主体结构是九个套在环柄上的环，每个环都有一个杆相连，玩法是不借助任何外界手段把环从环柄上都解下为胜。然后介绍九连环一些基本操作。
每个小组发一个九连环，让学生先自己操作如何接下环或如何穿上环，进行小组比拼，看哪个组能最快解开九连环。
设计意图：这样的课堂属于活动课，让学生感受到九连环作为智力玩具的悠久历史，产生兴趣，与其他小组进行比拼，可以激发学生好胜心，为接下来学生分析九连环产生的数学问题做铺垫。
1.2 扩充知识，深入了解
（1）九连环与递推数列
通过前面的比拼，与同伴一起讨论如何取下环所用步数更少，先找到规律，发现要解下第个环，就必须先解下前个环，用表示解下个环所需的最少移动次数，经过推导，得到关于解九连环所需最少步数的公式，并且得到的公式不仅仅适用于九连环，任意环数都适用。
（2）九连环与二进制
九连环中环的状态只有两种，在环柄上和在环柄下，正好与二进制中数据只有0和1对应，可以用“0”表示在环柄下，用“1”表示在环柄上，环的状态与二进制的思路是一致的，所以可以借助二进制来表示环的状态。
设计意图：让学生了解到九连环不仅仅只是一个游戏，其中蕴含的数学知识也是非常丰富，与数列相关部分是课本阅读材料中给出的，与同学们现阶段所学知识有关，能够提高孩子们重视；另一部分中二进制对于当今社会文明的发展起到了非常重要的作用，整个电子信息时代可以说都是建立在二进制基础上的，学生会更愿意对其进行研究，这是一件非常有意义的事。
1.3 发散思维，自主探究
布置开放性作业，让学生在课后进行自主探究活动，作业包括以下几个方面：
（1）结合自己解九连环的过程，提出一个有价值的数学问题
（2）发现和提出问题（你是怎么发现这个问题的以及如何一步步把问题提出来的）
（3）分析问题（问题如何呈现、准备怎么解决、有哪些困难怎么克服、如何把问题数学化、准备怎样建模等等）
（4）解决问题（解决问题的过程、数据的采集、图表的呈现、结果及检验等等）
设计意图：因为学生本身程度较好，所以希望把更多的探究空间留给学生，而不是教师灌输。设计这几个问题是想要学生经历问题解决的四个基本阶段，这几个阶段是心理学问题解决的思维过程的，符合《义务教育数学课程标准》中“四能”的目标，也进一步规范学生解决问题的思维过程。
1.4 课堂小结，总结强调
本节课在学习了数列的相关知识后，选择加入了课本后的拓展阅读材料—九连环，一起了解了什么是九连环、九连环的历史、九连环的结构和玩法后，进行操作，并一起探究解开九连环所需要的最少步数，这里求了步数的递推公式和通项公式，同时还了解了九连环与二进制的关系，使数学的应用性更加显著。
2 学生作业情况反馈
几乎每个学生都能提出很有自己看法的问题，他们会尝试对九连环所蕴含的数学知识进行挖掘，部分同学还会再次基础上进一步扩宽自己的研究方向，下面是部分同学的探究结果展示：
2.1学生一作业情况
学生一关注的不是步数，而是这些环被解下时有多少种不同形态？这些形态的不同点有在哪里（比如解下的环的个数不同）?
这名学生选择画出了详细步骤变化图以及计算的方法解决问题，得到一共有256种形态这一结论，并且，发现9个环在下的有一种，8个环在下的有7种，7个环在下的有23种······
（学生一部分作业展示）
2.2学生二作业情况
学生二与学生一研究的问题是同一个方向的，她发现解九连环过程中，九个环形成的组合状态随每一步操作发生改变，在步骤最简的解决过程中，是否会出现重复的形态？这些状态是否涵盖了所有29种可能？
学生的解答使用了数列的通项公式，并且以九连环第九号环刚被拆下时为例进行了枚举，得到结论，九连环解的过程中不会出现重复且不会覆盖所有状态的种类。
（学生二部分作业展示）
2.3学生三作业情况
学生三在了解过九连环与二进制之间的关系后，想要知道九连环的步数与步数二进制之间的关系？
该学生先选择5个环的环状态进行研究，用“0”和“1”表示环在环柄下和环柄上的状态，通过列表详细列出环的状态的五位数与步数二进制之间的对应关系，结果发现没有什么直接关系，但进一步研究发现，是有一定规律的，规律如下：对于一个五位数，从右到左看，其中一位数如果左边所有数字之和为偶数，则该数不变，如果所有数字之和为奇数，则该数变化（即从”0“变为”1“，或”1“变为”0“），通过这一规律，我们可以得到九连环任意一个状态下所需要的步数。
（学生三部分作业展示）
2.4其他同学作业情况
还有部分学生尝试能否用编程等方式去求解步数、研究任意两种状态之间步数和状态的关系、拆下第某个环所用的步数等等问题，这些问题有些是同学们能够用现阶段知识解决的，有些则很难解决，包括很多同学的研究方法、研究结论的准确性还有待商榷，但这些孩子在经历过提出问题、分析问题、解决问题以及对问题反思这一过程后，他们会产生对于自身的一种满足感、一种对于数学研究的内在驱动力，他们对于数学问题的探究精神已经激发，会愿意在课本中、游戏中、甚至生活中探究数学真理、感受数学魅力。
3反思与感悟
通过本次课堂内容的教学以及学生关于九连环问题探究作业的反馈，笔者认为，在以后的课堂教学中可以有以下几个提升方面：
3.1 数学游戏与课堂知识的有机结合
数学文化中尤其是数学游戏，其包含挑战性、规律性以及趣味性这三个特点，本身就比干枯的数学知识本身更加吸引学生，九连环本身的难度能激发起学生们的挑战欲，互相比拼更能让学生迫切的想要知道怎样做更快解开，从而去研究，这个时候的数学就不再只是为了考试的学科，而是一种满足学生心理需求的工具，从趣味性中可以让学生觉得数学不那么冰冷，是有温度的、是快乐的。
3.2 数学游戏激发学生潜能
学生的作业反馈可以说是给人以惊喜，在此之前，并没有想到学生完成度这么高并且每一份都是用心思考的结果，可以看出学生的潜能是无穷大的，这就说明，我们平时的教学没有让学生放手去做，而是局限在了考试所给的框架中，事实上，当笔者设计作业时也会担心是否太宽泛，但结果发现其实这种宽泛给予了学生一片广阔的思维空间，学生的思维由此活跃起来，去思考、去揣摩、去碰撞、去交流，比如学生一和学生二，都研究的是环的状态，但思考的问题和解决思路有是完全不同的。哈佛大学据说曾流行过一句话：“教育的真正目的就是让学生不断提出和思考问题”，只有给出空间，学生才敢于去质疑、去怀疑、去挑战，而不是被动解决问题，这个过程中，学生的主观能动性也会充分另外，当有了足够的空间后，学生的主观能动性也会得到最大程度的体现。给了学生一份信任，学生会回报给教师更大一份惊叹。
台湾一位被称作“数学魔术师”的老师吴如皓说过：“数学魔术是随机变化的操作中对永恒规律的掌握；数学魔术是用隐匿的答案诱惑尝试错误的探究历程；数学魔术是看见混乱表象背后永远不变的内涵；数学魔术是在见证奇迹的时刻带着想象力踏实学习。”我觉得这句话对于九连环这个游戏而言也是如此，无论在课堂中引入哪个游戏，实际上都是希望数学课堂变得鲜活、生机，培养学生的数学核心素养不是口头支票，学生成为学习的主人，这应该也是每一位数学教师想看到的。