王雨露
红岭中学石厦初中部
摘要：本文依据数学文化的五个维度，整理和编制了“全等三角形”相关的数学文化案例，分别是“泰勒斯与角边角定理”“剪开的莫比乌斯带” “纸条做出正五边形”“卡钳测宽”“刘徽割勾股形与拿破仑测河宽”，并在每个案例后都给出了教学策略，从而为数学文化从教材落地于课堂实践提供参考。
关键词：数学文化；数学文化渗透；全等三角形
一、数学文化的内涵
顾沛认为，“广义上的数学文化除上述内涵外，还包含数学家、数学史、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系”。[1]近期，余庆纯和汪晓勤构建了数学文化的五个维度，分别是知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐与多元文化。[2]
《义务教育数学课程标准2011年版》强调“数学是人类文化的重要组成部分” [3]，并要求教材中要渗透数学文化，这为数学文化走向数学课堂提供了保证。然而，如何将数学文化渗透到初中数学课堂教学，这是广大一线教师普遍关心的问题。本文将结合不同版本的初中数学教材，梳理“全等三角形”相关的数学文化 ，并按照余庆纯和汪晓勤构建的数学文化五个维度将这些素材进行分类，并提供一些教学策略，以期为数学文化的课堂教学实践提供建议。
二、数学文化渗透的方法
本文将以“三角形全等”为例，从 “学科联系”“知识源流”“审美娱乐”“社会角色”与“多元文化”五个维度来介绍与之相关的素材，并提供数学文化渗透的一些策略。
（一）学科联系
1.素材 ——剪开的莫比乌斯带
准备一条长方形纸带，如果在长方形纸带的中间部分，用颜色涂一条占长方形三分之一宽的狭带，如图1，再将这纸带扭转半圈，粘接两端做成一个莫比乌斯带.用一把剪刀沿着有色狭带两边各自剪开，猜一猜：是否能得到三个全等的纸环？
图1
2.教学策略
在本节内容的最后，可以简单介绍该实验属于拓扑实验。拓扑学是现代几何学分支之一，它研究物体在连续扭曲变形下保持不变的性质。与欧几里得几何不同，拓扑学不涉及大小、形状，因此在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。
（二）知识源流
1.素材——泰勒斯与角边角定理
据史料记载，古希腊的哲学家被认为是第一个利用“角边角定理”测出轮船与海岸距离的人。
情境：希腊的爱琴海上发生了海难，急需救援，但因为无法得知遇难船只与海岸地点的距离而束手无策。在这个紧急时刻，泰勒斯利用自己在几何上的天才造诣求出了船与海岸的距离，你能结合图2解释泰勒斯所用的原理吗？ EF表示一根可以转动的直杆，其上有一个固定的钉子A，另一横杆可以绕A点转动。先将直杆EF垂直于地面，并将横杆转动调准到船的位置B；然后转动直杆EF，且保持直杆仍然垂直于地面，此时横杆对准岸上的另一点C(△ACD与△ABD不在同一平面）.则有DC=DB.
图2
2.教学策略
学生的数学史的理解往往比较薄弱，这里教师应当做以下补充：EF在两个平面中都是垂直于地面的，可以得到什么？EF在旋转过程中长度是否改变？EF在旋转过程中还有哪个量保持不变？通过上述提问，学生理解了∠ADC=∠ADB，AD=AD,∠CAD=∠BAD，便能利用角边角定理证明三角形△ACD≌△ABD，进而证明DC=DB.为了更好的还原该情境，教师还可以利用工具演示横杆转动，从而让学生更好地理解该问题情境，从而构造出全等三角形。
（三）审美娱乐
1.素材——用纸条做出正五边形
尝试操作：将一张长方形纸条打好一个结，拉紧并压平，便能得到一个正五边形，如图3。
知识运用：你能运用全等三角形的知识证明五边形ABCDE是正五边形吗？
图3[4]
2.教学策略
折纸游戏属于趣味数学，学生能在游戏中领悟到生活中不起眼的数学，这些奇特的生活现象恰好可以用数学原理来解释。教师可以先带领学生进行实验操作得到五边形，给与学生充分的时间展开该图形，感受数学的奇异美。在学生百思不得其解过后，再提供教学支架，抛出下面的问题，引导学生深入思考。
（1）明确正五边形的定义：各边相等，各角也相等的五边形是正五边形。问题转化为证明AB=BC=CD=DE=AE，且∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=EAB.
（2）找出形状一样、大小相等的三角形，例如△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB.
（3）根据纸条的宽处处相等，你能利用等面积法证明AB等于AE吗？还能得到哪些线段相等？
（四）社会角色
1.素材
如图5，工人师傅常用“卡钳”来测定工件内槽的宽. 卡钳由两根钢条AA’、BB’ 组成，O 为AA’、BB’ 的中点. 只要量出A’B’的长度，就可以知道工件内槽AB的长度. 你能说明这样测量的理由吗？
图5
2.教学策略
作为社会角色的数学文化，指的是数学对人类生活、科学技术和社会发展的意义和作用。为了让学生切身体验数学在生产生活中的实用价值，可以将上题改编为真实任务情境，利用该卡钳测量物体的长度。
任务：卡钳可以用来物体的长度。卡钳由两根钢条AA’、BB’组成，O 为AA’、BB’的中点，如图6所示.请你利用卡钳测量星巴克咖啡杯的杯底内径，并解释卡钳的实用价值。
图6
（五）多元文化
1.素材
（1）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图7所示，已知∠A=90°, BD=4, CF=6, 则正方形ADOF的边长是多少？
图7
（2）1805年，拿破仑率领的大军与反法联军分别在莱茵河的两岸进行激战，为了使得炮弹能准确落入敌方的阵地，就得知道莱茵河的宽度。低头沉思的拿破仑在抬头观望对岸时，忽然发现自己的视线通过帽檐边缘正好能看到对岸的边线。于是他保持头部姿势不动，开始一步一步向后退，直到……根据图8的示意图，你认为拿破仑要后退到什么程度？他是如何测出莱茵河的宽度的？
图8
2.教学策略
教师可以在教学全等三角形时给学生介绍刘徽的成果，并适当用图片呈现勾股定理的不同证明方法。再让学生对比拿破仑与泰勒斯的测量方案，畅谈自己的感想。
三、小结
本文通过五个具体的案例，简单介绍了数学文化五个维度的素材使用方法，不同内容的素材可以使用不同的教学方法，具体操作可以结合实际灵活运用。事实上，“基于数学文化的数学教学，要求教师运用数学文化素材，选择合适的教学方法，设置相应的文化情境，引导学生感受数学文化。” [5]数学文化素材的选取和运用，其形势并不唯一，既可以“阅读材料、专题或课程板块形式呈现，实现数学文化内化的自然‘融入’” [6]，又可以作为数学任务本身让学生在活动中沉浸体验。
参考文献
[1]顾沛.(2011).南开大学的数学文化课程十年来的探索与实践——兼谈科学教育与人文教育的融合.中国高教研究(09),92-94.
[2]余庆纯＆汪晓勤.(2020).基于数学史的数学文化内涵实证研究.数学教育学报(03),68-74.
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011 年版）[S].北京:北京师范大学出版社,2011:1.
[4]李明树 & 王晓峰.(2018).数学实验是发展学生几何直观的有效方式——以“折正多边形结”创新方案设计为例.数学教学通讯(02),12-14+17.
[5]张维忠 & 徐晓芳.(2009).基于数学文化的教学模式构建.?课程.教材.教法(05),47-50+70.?
[6]吴宏.(2016).数学文化及其课程资源的开发与利用.中小学教师培训(07),1-5.
深圳市教育科学2019年度规划课题“数学文化向初中数学课堂渗透的课例研究”（ybzz19134）成果之