段宏博 汪永娟 张瑶 王晓春
哈尔滨石油学院 数理部，黑龙江 哈尔滨 150006
摘要：高等数学是我国现代高等工科院校非常重要的一门基础课，是学习线性代数和复变函数与积分变换等数学基础课的重要工具。而导数的理论、方法和应用在整个高等数学中占据着很重要的地位，学习导数的目的是应用导数解决实际问题。本文主要介绍导数的概念及导数在高数中的重要应用。
关键词：高等数学 导数 应用 教学研究
一、引言
法国数学家为了研究极值问题引入导数的思想，而导数的概念是由德国数学家莱布尼茨和英国数学家牛顿和在研究几何学和力学过程中建立的。利用导数可以解决数学的实际问题，如研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题，本文通过例题从简单应用到综合应用来说明导数的应用。为提高学生的基本数学素质和将课程知识在后续专业课程里的实际应用能力，如何在有限学时内，将这门课程变得生动有趣，提高学生的学习积极性，又能更好满足应用型本科院校专业人才培养的要求，在教学方面做出了一些有益的研究和探索。
二、导数的定义
.png)
三、导数在判断函数单调性中的应用
以导数为工具研究函数的单调性，提供了简便、程序化的方法。
.png)
五、利用导数求函数的最值
在实际生活中，我们经常遇到求用料最省、费用最小、效率最高等问题，这些问题属于优化问题，也就是最值问题。
例2：一艘轮船在航行中的燃料费和他的速度的立方成正比。当速度为10km/h时，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元，问轮船的速度为多少时，没航行1km所消耗的费用最小?
.png)
六、导数在经济学中的应用
导数在经济学中有着广泛的应用，应用导数知识来解决各种经济问题。
例3：企业某产品的日生产能力为200台，每日产品的总成本C（单位：元）是日产量q（单位：台）的函数
，
求：（1）当产量为100台时的总成本;
（2）当产量为100台时的平均成本；
（3）当产量从100台增加到121台时总成本的平均变化率；
（4）当产量为100台时的边际成本。
解：（1）当产量为100台时，总成本为
.png)
通过对导数知识的学习，使学生充分认识到导数在高等数学中的重要地位和作用，发展学生的逻辑思维能力，为后续专业课的学习打好基础。
[1].刘玉链.数学分析讲义[M].河北：高等教育出版社，1999,42-98.
[2].东北师范大学数学系. 数学分析[M].北京：高等教育出版社，2005
[3].刘家春，杨德斌.经济数学 [M].南京大学出版社，2016
[4].北京邮电大学数学教研室.高等数学导论 [M].北京:北京邮电大学出版社，2000