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一道几何题的探究与推广

发表时间：2021/5/8 来源：《教学与研究》2021年第55卷1月3期作者：熊科君

[导读] 如图1，BC=2，A为半径为1的⊙B上一点，连结AC，在AC上方作一个正三角形

        熊科君
        慈溪市宗汉锦纶初级中学
        一、试题呈现
        如图1，BC=2，A为半径为1的⊙B上一点，连结AC，在AC上方作一个正三角形ACD，连结BD，则BD的最大值__________。

                                图1
        这是九年级区域数学检测中的一道试题。此题是某一动点到已知定点距离的最值问题，涉及点的轨迹。常规思路是运用描点实验法得到猜想，再进行逻辑论证。

二、解法探究
实验猜想，逻辑论证
        如图2，由描点实验法得到D1、D2、D3猜测点D的轨迹是一个圆，假设圆心为O，连结OB、OD、OC，不难发现△OBC与正△ACD构成全等三角形。根据猜测构图，以BC为边，在其上方作正△OBC，连结OD，易证△ABC≌△DOC，则DO=AB=1，其中O为定点。由此可知，动点D在以O为圆心，半径为1的圆上，由此可得BD最大值为3。
        同理在BC下方作正△OBC，或在AB左侧作正△OBA，或在AB右侧作正△OBA，都可利用构造两个三角形全等得解。

                                图2
引申推广
        推广1：把试题条件正△ACD改为正方形ACDE、正五边形ACDEF正n边形ACDEF…（图3），其余条件保持不变，求BD的最大值？情形又如何呢？

小结：推广2的问题利用构造两个三角形相似解决。同时在此基础上把试题条件作进一步改变：由“AC上方作一个正n边形ACDEF…”，改为“AC下方作一个正n边形”，D′是正n边形上任一顶点，求B D′的最大值？探究发现最值是一样的，证明方法类似，在此省略。
结束语：本题的条件背景从正三角形变化到正多边形，试题问题从一个点到任意点，解题方法从构造全等到构造相似，都体现了特殊与一般的关系。