张涵瑞 张萌
山东协和学院 山东济南 邮编：250200
摘要：伴随着经济社会的逐步发展，各式各样的活动也逐渐以抽奖的形式出现在我们的生活娱乐中。本文所研究的概率对象是随机现象。概率论是数学中一门研究随机现象的数学分支，主要研究一件事情发生的可能性问题。在早期社会中，概率学最主要应用于赌博，但伴随着人类社会的逐步发展，当今人们需要更多的了解不同现象中隐含的规律性问题，并通过数学的方法解算出各类情况出现的可能性大小。现如今，概率论逐步发展为一门严谨的学科，并渗透至社会的自然科学、经济学、金融等各个领域[1]，本文对蒙特难题以及免费抽奖中的概率问题进行了探讨
关键词：概率论；蒙特难题；免费抽奖
一、蒙特难题
蒙特难题主要出自于美国一档电视节目，并最终以该节目主持人蒙特-霍尔（Monty Hall）命名[2]。
1.1问题的提出
蒙特向竞猜者展示了三扇门。有一扇门之后是一辆小轿车。另两扇门之后是空房间。蒙特事先知道门后是什么，但您并不知道。 游戏分为三步: 1. 您选择一扇门。 2. 蒙特将会打开剩余的两扇门中的一扇，展示一个空的房间。(他从不会打开那扇后面藏有汽车的。) 3. 然后您可以选择是仍然选择在步骤1中选择的那扇门，还是选择去打开另一扇仍然关闭的。 假定您选择了A门。然后蒙特打开了另两扇门中的一扇，假定为B门。现在您可以选择改选C门或者仍然坚持最初的选择，即A门。如果没有改变选择，那么可能会猜对也可能会猜错。另一方面，如果您改选C门，则还是既可能猜对也可能猜错，那么选手如何选择才能使选中小轿车的可能性最大？
1.2蒙特难题的分析及解法
社会中不乏有人认为，当主持人蒙特打开空的那扇门之后，参赛选手赢得小轿车的概率从变为了，其所说的理由为：当选手知道了其中一个门为空门时，选手只需要从剩余的两扇门中做选择即可，故概率变为，但有另一部分人认为在选手获得了蒙特打开门的信息之后，如若坚持选择一号门，则概率仍为原来的，但若改选三号门，则概率增至.原因为当坚持选择一号门后，等同于已知条件，并没有获取新的信息，，则一号门获奖概率仍为原先的，但若改选，则可获得新的信息，则概率也随之增至.
通过模拟了10000次后的实验发现，如若坚持选择第一个门的实验中，只有3346次赢得了小轿车，而在10000次选择三号门的实验中发现，赢得小轿车的次数达到了6674次之多，由此从实验结果上不难发现，改选三号门从而赢得小轿车的几率更大
我们也可这样考虑，当选择三号门后，在第一次选择就中小轿车的情况下，且第一次就选中小轿车的概率为，则换门会为空，那么改选三号门为空的概率也为.反之当第一次选择一号门为空时，那么三号门后一定为小轿车，且概率为，故此，改选三号门赢得小轿车的概率较大。
当通过数学中概率问题思考时，即为一个条件概率问题[3]，选手在三扇门中选择任意一扇是古典概型。
（1）基本事件为一号门、二号门、三号门，设为A.B.C
（2）每个事件发生概率相同，即：P(A)=P(B)=P(C)=
在蒙特打开一扇门为空后，对坚持选择一号门并不产生任何影响，因此选手是先进行选择而后才得到的信息，而如果选手改选三号门后，则变为条件概率问题。
在已知事件B发生的前提下，求A发生的概率，即为在B发生的条件下，A发生的概率，记为P（A|B）
P（A|B）==
有前文叙述可知：P（A）=
P(C)=P(CB)=
因此选手改选三号门赢得小轿车的概率最大。
二、免费抽奖：
在当今社会，伴随着人们生活节奏的加快以及心理压力的逐渐增加，在当今社会生活中，各式各样的抽奖活动层出不穷，许多人为了得到精神放松，逐渐对抽奖活动产生了浓厚的兴趣。
抽奖活动是一种普遍的现象，如果作为无盈利目的来说，大可无所厚非，抽奖者也会抱着无所谓的心态。但事实上，各类商业活动的抽奖都抱有盈利目的，消费者比表面是以为的手气不佳，实际上是正中商家下怀
下面我将从概率角度来分析现在喜闻乐见的免费抽奖问题。
2.1问题的提出
曾在夜市上看到过类似“免费抽奖”的横幅，即在一个双面牌子上（共有20个牌子，一面写有A或B的字样，另一面面朝你），需要抽奖者随机抽取牌子，规则如下：
一等奖（奖金60元）
翻得10个A或10个B
二等奖（奖金30元）
翻得9张A，1张B或者9张B一张A
三等奖（奖金10元）
翻得八张A两张B或者八张B两张A
四等奖（奖金5元）
翻得七张A三张B或者八张B三张A
五等奖（1元）
翻得六张A四张B或者四张A六张B
六等奖（必须自费购买价值20元的产品）
翻得五张A五张B
问这种免费的抽奖合理吗
2.2问题的模型以及组合解法：
从概率的角度来解
20个牌子中任意10个共有C=184756;
1.翻得10个A或者10个B 的组合数共有：2CXC=2,因此翻到下列情况的概率P==≈0.00000108
2.翻得9张A 1张B或者9张B 1张A的组合数为：2CXC=200，因此翻到下列情况的概率：P==≈0.0010825
3.翻得8个A 2个B或者2个A 8个B的组合数为2CXC=4050, 因此翻到下列情况的概率:P= =≈0.0219208
4.翻得7张A 3张B或者3张A 7张B的组合数为2CXC=28800, 因此翻到下列情况的概率P==≈0.1558813
5.翻得6张A 4张B或者4张A 6张B的组合数为2CXC=88200, 因此翻到下列情况的概率P= =≈0.4773864
6.翻得5张A 5张B的组合数为CXC=63504，因此翻到下列情况的概率P==≈0.3437182
综上所述，在经历过高达一万次的试验后，获得一等奖的次数为0.11，二等奖的获得次数为11次，三等奖的获得次数为219次，四等奖的获得次数为1559次，五等奖的获得次数为4774次，六等奖的获得次数为3437次，进而将所有的可能性支出进行计算，可以得出摊主的支出为：
一等奖：60*0.11=6.6元
二等奖：30*11=330元
三等奖：10*219=2190元
四等奖：5*1159=7795元
五等奖：1*4774=4774元
假设产品成本为5元，则在测试中所卖出产品的成本共为：5*3437=17185元
摊主的收入为：20*3474=104220元
摊主的纯收益为：104220-17185=87035元
通过一系列的数学概率分析不难看出，诸如此类的商业性抽奖具有极大程度的迷惑性，人们往往会过于相信自己运气而陷入商家的陷阱，并给自己造成不必要的经济开销。
参考文献
[1]金炳陶.概率论与数理统计[M].北京;高等教育出版社，2008.