施晓晶 王丹 邢妮
山东协和学院 山东济南 邮编 250200
摘要：微积分是一些列数学思想演变的结果，是高等数学的基本组成内容，也是我们大学生必须要学习的科目。中国古代数学中的许多智慧也对微积分的发展带来了巨大的贡献。我们对中国古代数学中有关微积分的发展进行探讨，并希望从中提取到对我们学习的启发。
关键词：微积分；古代数学；高等教育；学习方法
17世纪时，许多科学问题亟待解决。数学首先从对运动的研究中引出了一个基本概念，就是函数。紧接着函数概念的采用，产生了微积分。微积分的问题至少被十七世纪的十几个最大的数学家和几十个小的数学家探索过，其创立者一般认为是牛顿和莱布尼兹。但实际上，在牛顿和莱布尼兹做出他们的冲刺之前，大量微积分的知识已经积累起来了。17世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都做了大量的研究工作[1]，在这方面的研究，古代中国丝毫不逊于西方。
一、微积分的主要思想
微积分是很多数学家经过无数次的思考与研讨总结出的一项数学知识，其产生过程主要分为以下几个阶段：极限概念、求积利用无限小方法、微分与积分之间存着着互逆的关系。通过对微积分学的发展历程与微积分理论可以知道，微积分学发展是由极限思想支撑的。极限思想将不同的数学思想连接了起来，提供了一定的理论基础，进而为完善微积分学的思想与方法提供了前提条件。虽然微积学当中包含了许多不同的数学思想，但是极限思想仍是最主要的思想。[2]
二、古代数学中微积分的发展
极限思想的本质是利用极限概念来分析问题与处理问题，尤其是无穷分割的极限思想能直接决定微积分思想。[3]
而在中国，公元前7世纪老庄哲学中就有了无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。
刘徽利用圆内接正多边形的边数趋于无穷大时，正多边形的面积将无限接近于圆面积的标准，创设了一项符合极限存在要求的不等式，还对圆内接整3072边形的面积进行了计算，推算得出了π，π的数值为3.14161250，π三位数之后的数值是由数学家祖冲之补充完成的，推算到了50位数之后，还得出3.1415926<π<3.1415927这个结果，这就是著名的割圆术。
在16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想发展起来。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明，到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。
北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。
南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。
在13世纪40年代到14世纪初，中国古代数学达到了高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。[4]
三、古代数学中微积分对我们学习的启发
中国古代的数学思想实际上很早就渗透在了我们的数学学习中。从最初的雉兔同笼、将军饮马、今有物不知何数，到学习立体几何时，最常用到的球的体积公式，都是我国古代数学的智慧。我国古代所应用的开立圆术实际上就是与求球体积有关的一种方法，即处于两个平行平面中间的几何体可以被平行于这两个平面的任意平面所截，一旦所截两个面的面积是相等的，就能够证明出这两个几何体的体积是相等的。
古代数学知识同样也是是我国传统文化的重要组成部分，我国古代的数学微积分思想与古代哲学、文学之间也息息相关。著名哲学家庄子曾经说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”一尺的木棍,每天弄断一半,永远都弄不完，这正好符合了数学中的极限思想。同样，这句话与数学思想中的求和、数列、极限都结合起来进行了探讨，让我们为之惊叹。
我国著名思想家、哲学家老子曾经说过“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。”合抱的大树，生长于细小的萌芽;九层的高台，筑起于每一堆泥土;千里的远行，是从脚下第一步开始走出来的。从“大生于小”的观点出发，分析了事物发展变化的规律，说明要想实现“合抱之木”、“九层之台”、“千里之行”这些的远大愿望，必须要从“生于毫末”、“起于累土”、“始于足下”这些小事物做起，也充分说明了量变产生质变、积累的重要性。
这些思想告诉我们，无论做什么事情，都必须具有坚强的毅力，从小事做起，才可能成就大事业。老子、庄子的思想当中蕴藏的深刻的微积分思想，我们只有不断地去实践、去学习，才能让从古代流传下来的智慧变得更有价值、更有传承意义。
总而言之，微积分作为数学知识的重要组成内容，不仅对我们的学习、甚至生活都有重要的启发。尤其是中国古代饱含哲学智慧的有关微积分的数学思想，若能不断地学习、加深对其理解，在学习中也不断思考，将其活化在生活中，明白事积于微的道理，相信对我们的学习生活都会有很大的帮助。
［参考文献］
[1]冯兰军，赵国瑞主编．应用高等数学：北京邮电大学出版社，2016.03：188
[2]杨建峰主编．世界重大发现与发明：外文出版社，2013.06：93-94
[3]薛颖. 中国古代数学中的微积分思想[J]. 中国农村教育, 2019, 000(002):52-52.
[4]陈顺清. 中国古代数学对微积分形成的贡献[J]. 四川文理学院学报, 2007, 17(002):1-5.
指导教师：邢妮 女 山东协和学院