段宏博 汪永娟 张瑶 王晓春
（哈尔滨石油学院 数理部，黑龙江 哈尔滨 150006）
摘要：高等数学是我国现代高等工科院校非常重要的一门基础课，是学习线性代数和复变函数与积分变换等数学基础课的重要工具。而极限的理论、方法和应用在整个高等数学中占据着很重要的地位，极限的思想贯穿了整个高等数学内容。极限的计算是学好高等数学的重要前提条件，本文总结了几种常用的极限计算方法。
关键词：高等数学 极限 计算 教学研究
一、引言
微积分的思想很早就在人类的生产实践中产生了，但作为一门完整的学科体系却是建立在极限的基础上的。极限是描述变量在一定变化过程中的终极状态，高等数学中研究的极限分为两类：数列极限和函数极限。极限的计算具有多变性，对于初学者具有很大的难度。很多前人都在探索高等数学中极限的计算方法，在总结前人的经验基础上，笔者在教学中又进行了实践归纳总结。
二、定义法求极限
1.数列极限定义：
对于数列，如果当无限接近某个确定的常数A,那么A是数列当无限增大时的极限，或称数列收敛于A，记作或者,否则称数列发散或无极限。
注意数列极限定义中在无限增大的过程中，与常数A的距离可以任意小，要它多小就有多小。
我们往往在实际问题中不仅需要解决数列极限的问题，还需要解决函数在的某个变换过程中，对应的函数值是否趋向于某个确定的常数。
2.函数极限定义：
（1）设函数对绝对值充分大的均有定义。如果当自变量的绝对值无限增大时，对应的函数值无限接近某个确定的常数A，即无限趋于零，则称A为函数当趋于无穷大时的极限，记作
或者
（2）设函数在点的某个去心邻域内有定义，如果当趋于时，对应的函数值无限接近某个确定的常数A，即无限趋于零，则称A为函数当时的极限，记作
或者。
三、极限的计算方法
1、用极限的定义证明：下面通过举例说明用极限的定义证明求极限的方法。
例1：用极限的定义证明
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直接按照极限的概念来判断极限的存在性，经常是比较困难的，下面介绍计算极限的两个重要极限，这两个极限在极限计算中起着很重要的作用。
2.用两个重要极限求极限
第一个重要极限：
其变形公式:
第二个重要极限：，其变形公式:
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3.用函数的连续性求极限
函数在一点连续的定义是当给自变量一个很小增量时，对应的函数值变化也非常小。利用函数的连续性计算极限是高等数学中求极限的重要方法。
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注意能用函数连续性求解极限的前提是函数必须是连续的，一般初等函数在其定义区域上是连续的，可以用种方法求解极限。
4.用两边夹定理求极限
两边夹定理:若存在正整数N,当时，有，且，则有。
例5:求的极限
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5.用洛必达法则求极限
洛必达法则：设在点的某个去心领域内有定义，
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。
在运用洛必达法则求极限时，先要判断所求极限是否是以上两种类型极限，如果不是要化成这两种类型极限。
6.用无穷小量代换求极限
等价无穷小替换定理：设
且存在，则
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定理得结论在极限计算中有着重要的应用，他将函数极限运算问题转化为常数与无穷小的极限计算问题。注意用等价无穷小替换求极限时，极限里乘除可以替换，加减不能替换。
极限的计算要抓住典型例题，同时进行大量的习题练习，积累解题经验，熟练的掌握极限的计算方法，形成极限的规范计算。
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