翁丹影
一、问题起源
1.难上加难，行进中的拦路虎
《数学广角--搭配（二）》是人教版小学数学三年级下册第八单元的内容。学生在二年级上册《数学广角--搭配（一）》的学习中已经接触了简单的排列和组合内容， 在此基础上，本单元内容难度稍有提升，不仅数据加大了，而且问题情况也更加复杂。学生的经验和方法还停留在二年级具体操作的层面上，本节课的设计意图是学生能够直观图示把抽象的思考过程有序、全面地呈现出来，对学生的思维水平有了更高的要求。
2.熟能定式，助长的思维惰性
学生在数学学习过程中，经常会受到已有的知识经验和思维方式影响，习惯性地按照某个思路去思考问题。比如本节课，笔者发现很多教师为了强化训练，设计练习的题目都是“用乘法算”，学生也很聪明的“发现”了这一规律。“依葫芦画瓢式”地解决问题，在一定程度上会造成学生的思维定式，无意间助长学生的思维惰性。
3.前测调研，转变的教学观念
虽然学生在二年级上册的时候已经学过“三个对象”之间的搭配方法，但是为了更好的了解学生的起点，笔者对任教的两个班学生做了线上前测调查。调查的总人数为 91 人，会合理搭配的有 87 人，其中 59 位是有序思考，表达的过程中还采用了不同的表现形式。从前测中笔者发现，学生已经具有丰富的学习经验，但在思维的表达上有强有弱。
基于前侧调查分析，本节课教学采用“前置学习”的教学模式，设计预学卡片推动学生自主探索，动手操作。
二、教学改进
1.探：在前置学习中捆载而归
（1）任务驱动，促进思考
为了帮助学生联系身边具体的事物发现并提出问题， 笔者有意识地创设了学生所熟悉的情境，让学生感受数学与生活的密切联系，积累生活的经验。
（2）数形结合，多元表征
为了给学生提供多元的支持，让每一个孩子都能表达自己的思考，笔者设计了“想一想”、“画一画”、“说一说”具体的操作指南，给学生创设适度的学习空间，让学生的自主探究更有效、体验更深刻，使学生思维的提升更明显。
（3）别类分门，自主探索
结合钉钉功能，笔者发起班级圈，学生在经历独立思考表达想法、动手实践后， 将作品上传。笔者根据学生的方法以及思维层次进行整理，挑选不同方法的样本。
2.行：在研讨交流中拨云见日
（1）信息“加工厂”，从抽象到直观
【教学片断】
师：老师这里收集了一些作品，你能给这些作品分分类吗？
师:是的，根据大家的表示方法，我们可以大致分为 3 种。你看懂了哪一种？（画图记录法、文字记录法、符号记录法）
笔者在展示学生的不同表达后，将所有方法放在一起，引导学生比较、观察。通
过对比使学生看到由具体文字表述、画图表示到用抽象的符号表达的变化过程，经历三次抽象，体会符号表达的简洁、明确等优点，进一步认识符号对于进行数学表达和数学思考的重要作用，体会图形的直观性和数形结合思想的优势。
（2）语言“翻译官”，从无序到有序
【教学片断】
学生作品 汇报提升
师：你更喜欢哪类？它的方法是怎么样的呢？
生 1（连麦）：我认为这个方法先是固定上衣，用一件上衣去搭配 3 件下衣，有三种；再用另一件上衣去搭配 3 件下衣，又有三种，3+3=6 种。
生 2（连麦）：我觉得先固定下衣，用一条短裙去搭配上衣，有 2 种.....
一共有 3 个 2，2+2+2=6 种。
师：这个方法可以从 2 个角度去思考，都是先要固定其中一种，再按顺序搭配，做到不重复，不遗漏，有序思考。
生（连麦）：这个方法用○表示上衣，△表示下衣，先选定上衣，再分别去搭配所有的下衣，或者先选定下衣，再分别去搭配所有的上衣。
师：这些方式各有优点，其中用符号表达既简洁又明确。
爱因斯坦说过：“对称和有序是宇宙间的根本大法。”在有序和无序的对比中，学生能感受有序思考的好处，在不断地分析和比较不同思考方法的过程中将内化的思维方式再次外显出来，深化学生有序思考的意识。
有序思考在我们生活和学习中也经常用到，笔者后续补充“你能举个例子说说吗？”，此问意在深化学生对有序思考的认识，并让学生经历认识的完整过程：“实践--认识--再实践”。
（3）在线“小主播”，从一言堂到群言堂
创建班级圈，实时全班共享，让作品开口说话；课堂连麦，让人人成为主播。线上教学削弱不了学生的主体地位。结合教学平台功能，笔者依旧把课堂的话筒交给学生。
3.思：在类比辨析中建构模型
（1）从简入繁，拓广度
【教学片断】
师：如果再增加 1 条裤子，又会有多少种搭配方法呢？能联系图想想吗？如果增加一件上衣呢？
通过增加一件上衣或一条下衣，使一个自变量不变，另一个自变量的变化来引起
因变量的变化，促使学生离开实物，借助相对抽象的连线图去发现数量之间的关系。学生很快将这种关系和乘法模型建立联系，将搭配种数的变化抽象为“增加 1 个 2”、
“增加 1 个 3”。在此基础上，进一步将搭配种数概括为“几个 2”或“几个 3”。让学生在多样特例的基础上，适当体会一般化的“乘法原理”。
（2）对比辨析，挖深度
举一反三：囿于单一的搭配对象，缺少“变式”，导致学生会根据惯性思维，看到求“一共有几种方法？”这样的问题，就立刻用乘法计算。因此，在上述问题解决中，笔者对“乘法原理”和“加法原理”这两个相关又容易混淆的数学模型进行了辨析对比，帮助学生厘清了“几个几”、“几和几”这两个原理的本质属性，明晰了两者的应用条件，并相机进行了乘法原理的推广。
触类旁通：“和谁长得像？”，做到“到位”而不“越位”。笔者引导学生“回头看”，回首“例 1”，感知排列的特点；凝望“例 2”，体会分类计数的思想。我们运用不同类型的教学素材，使课堂成为“调节器”，把学生带进规律，让学生去探究、去发现，同时也能够让学生跳出规律，去比较、去反思，促使学生真正接触数学知识本质，提升数学思维能力。
三、思考延伸
1.有迹可循，让本质可见
皮亚杰认为：“智慧的鲜花是开放在手指尖上的。”可见，实践操作是学生理解数学问题最有效的方式之一，让学生亲身经历探索的的过程，可以在活动中感知和领悟数学问题的本质。
如何让学生“搭”出精彩？本课向学生提供了充足的活动空间，让学生将思维过程和思考结果表示出来，学生亲身经历数学化过程中符号表达的必要性。学生在层层递进的教学活动中遵循了由物化到内化，从具体到抽象，从实物到表象再到符号的认知过程，逐步经历了操作---表象---符号的数学过程。
2.寸积铢累，让经验可感
数学教学要让学生经历知识的形成过程，这是新课标所倡导的理念之一。所谓“经历”是指“在特定的数学活动中，获得一些初步的经验。”我们有意识地创设学生熟悉的情境， 帮助他们联系自己身边的具体事物发现并提出问题，引导学生通过观察， 操作，讨论等活动，感受数学与生活的密切联系，积累这方面的经验。
3.循序渐进，让思维可联
排列组合是很抽象的数学知识，因此本节课设置了多种活动逐渐把抽象的知识直观化、具体化。我们通过想一想、画一画、说一说等多种形式让学生表示思维过程， 教学中也采用了独立思考表达想法、动手实践体会思考、同伴交流分享思维等多种学习方式，促进学生的思考与交流，展示多种解决问题的方法。
为了引导学生思维活动逐步深入，在教学中设置了三个关键性问题。“你们能用自己的方法把全部的“搭配”过程表示出来吗？”、“你们找到的方法表达的形式不同，但都做到了不重复不遗漏，这中间一定有共同的成功秘诀，是什么呢？”、“我们生活中也经常用到有序思考，你能举个例子说一说吗？”。
这样循序渐进的教学方式，让学生在个体与群体的思维碰撞中不断感受提升，“搭”出精彩，“配”出思维，最终掌握有序、全面的思考方法。