浅谈向量组线性相关性的几种判定

发表时间:2021/5/13   来源:《时代教育》2021年4期   作者:李一帆 张萌
[导读] 向量线性相关性是《线性代数》中的重要内容。所包含的定理、证明,常用结论在本书的难点中涉猎应用诸多
        李一帆 张萌
        山东协和学院 山东济南    邮编   250200
        摘要:向量线性相关性是《线性代数》中的重要内容。所包含的定理、证明,常用结论在本书的难点中涉猎应用诸多。通过利用定义、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解等知识,归纳出六种向量组线性相关性的判定方法。
        关键词:线性相关;线性无关;向量组;判定方法
    向量组的线性相关性是向量组之间线性相关或线性无关的统称。方程组的线性相关与线性无关是对立的,掌握其一者的满足条件全部取反,则可得另一者。若干向量组之间的线性相关性可应用于多种向量组的相关知识,例如最大无关组、向量组的秩、线性方程组的解的结构、过渡矩阵等。
一、向量组线性相关性的引出和概念
        1.线性相关

        若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。
        2.线性无关
二、关于向量组线性相关性的几种判定
        1. 定义法
        2.矩阵秩法
    此方法本质是,将所要求的向量组合成一个矩阵,然后利用矩阵的加减乘除规则,进行初等变换,变换成行阶梯型矩阵,然后得出组合矩阵的秩,将向量组矩阵的秩与向量个数进行比较,若向量组矩阵的秩>向量个数,则向量之间线性相关,反之,向量之间线性无关,即列满秩,得出向量组线性无关。
如上例1.的第三种证法:把已知条件合写成
         3.行列式值法
三、结语
        以上从向量组线性相关的概念引出、定义等,具体给出两个大方面。介绍了向量组线性相关性的本质,详细地证明阐述了六种判定向量组线性相关性的方法。由此可见,如果向量组线性相关性的判定是非常灵活的,且判断向量组线性相关性是较为规范化的,总可以使用方程组的解,矩阵的秩和行列式的值的方法来判断。透彻理解和熟练掌握向量组线性相关性的定义定理等知识是解题的必要条件,要灵活运用向量组线性相关性的定义定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力。
[参考文献]
[1] 工程数学《线性代数》第六版——同济大学数学系编
[2] 向量组线性相关性的几种判定——学年论文

指导教师:张萌 山东协和学院
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