张莉渺
杭州市求知小学 310022
摘 要：小学数学拓展性教学，应整合教学资源、结合学生情况、利用素材特点，研发适合学生自主学习的学习材料，并围绕学材提出核心问题，创设可探究的问题空间，以此对教学内容进行开拓、扩展和延伸。在教学实践中，基于学材研发的拓展性教学，可分为知识延伸类、游戏活动类、规律探究类、生活问题类等。这样的课堂，借助学材促进学生数学思维的可视，培养学生工具意识，丰富问题解决策略，也更新了数学的教学方式，为后续项目学习做好孕伏。
关键词：小学数学；学材；拓展性教学
一、探源：学材研发在数学拓展性教学中的教育意蕴
随着课程改革的不断推进，拓展性的教学越来越受到关注，上海、浙江等地已率先进行了基础性课程与拓展性课程多维推进的课程实施方式。小学数学拓展性教学，就是对小学数学教材进行扩充、开拓、扩展、延伸、展开的教学，通过创设问题情境，提供活动空间，让学生在动手操作、实践探究等活动中发现数学知识，感悟数学思想与方法，提升数学素养[1]。
小学数学拓展性教学的内涵，及其具备的趣味性、开放性、实践性和探究性等特点，决定了它的学习材料应跳出教材的范畴，寻觅更具活力的数学学习材料。所谓“学材”，是基于儿童视角和立场，对以教材为主的教学资源进行再创造的材料。教师可依据自身的学科理解和教学风格，从学生已有的认知出发，对教学资源进行开掘、整合、拓展后形成的适合学生自主学习的材料[2]。因此，小学数学拓展性教学在选择和使用学材时，应注意以下几点：
1.源于生活，促进教学过程的真实化
教材中的一些素材较为概括和抽象，且由于教材的更新频率不高，与学生的生活背景相对脱离，学生学起来具有一定的难度。拓展性教学中的学材，应采用源于生活且学生感兴趣的素材作为传授知识的载体，通过融入生活、联系实际，让探究问题和教学过程真实化。
2.易于操作，提升教学内容的探究性
拓展性教学以核心问题为驱动，引导学生在动手操作和实践探究中解决问题。因此，小学数学拓展性教学的学材，必须具备可操作性，以此为支架帮助处于具体运算阶段的小学生将抽象的知识内容变得可视、可表征、可操作，降低探究难度。
3.动态开放，助力学生研究的再创造
数学学习是用新知识不断修正和补充原有认知结构, 并形成新的知识结构的再研究和再创造过程。这一过程的实现，需要学生借助学习材料，根据自己的数学体验和数学思维方式，重新建构相关数学知识。拓展性教学中，探究内容的开放性和综合性更要求学材在开发与运用中应当特别注意学生“再创造”的过程, 培养学生解决问题的综合能力、举一反三的迁移能力。
综上所述，当材料为学生的学习提供了很好的支持时，就具备了学材的意义。基于学材，研发的拓展性教学，也更凸显拓展课的内涵和本质：以课程知识为载体，通过实践探究，发展学生的数学思维和数学素养。
二、设想：基于学材研发的数学拓展性教学的理念构思
数学拓展性教学，必将围绕学材研发展开，才能展现其魅力。通过对学情、教材和素材的综合分析，研发有数学探究味的学材，借学材提出核心问题，创设可探究的问题空间，以此开展拓展性教学。
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图1基于学材研发的数学拓展性教学的设想
（一）多维综合分析，变素材为学材
生活中的素材有很多，在学习素材的选择上，充分利用素材的自身特点，遵循趣味性、可探究、难度适宜、易获得、可操作等原则进行设计，研发学材。
1.基于学情，链接生活经验和知识背景
学习材料的选择和设计都必须贴近学生的现实背景。学生的现实背景包括生活经验背景和知识逻辑背景[3]。只有基于学情的学材研发和课堂设计，才能把学生定位于学习场的中心。
【案例1】正方体展开图
《正方体展开图》是人教版五年级下册第三单元“长方体和正方体的表面积”的拓展性内容。学生已有的知识和经验基础是：1.正方体的基本特征：6个相同的正方形的面，12条棱，8个顶点；2.正方体的表面积计算；3.旋转、轴对称等图形运动方式的掌握；4.初步的分类整理思想。在上述学情的基础上，引导学生利用磁力片直观展开正方体的6个面，并结合旋转、轴对称等图形运动方式把握展开图的关键特征，识别重复的情况，有序思考1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型和3-3型四类展开图，厘清正方体的11种平面展开图。
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图2 《正方体展开图》教学示意图
2.基于教材，促进知识整合与适度拓展
学材的研发、拓展课堂的组织，不能与教材完全脱离，应基于教材的知识结构，链接知识点，适度延伸。
【案例2】怎样做体积最大
五年级下册《长方体和正方体》单元练习中，经常会涉及无盖长方体或正方体体积的计算。故在此基础上设计了一堂探究无盖长方体体积的拓展课：用一张边长为18cm的正方形纸做一个无盖长方体，怎样做体积最大？这节课涵盖的知识点有：①无盖长方体的制作；②长方体种类的有序思考；③长方体体积的计算；④折线统计图表征体积变化；⑤由整数（剪去正方形的边长）推理到小数的极限思想；⑥规律的探寻和发现。这节拓展课的教学，促进这些知识点的整合，也是对学生现有知识结构的拓展，打破正方体体积最大的思维定势。
图3 《怎样做体积最大》教学示意图
3.基于素材，挖掘材料特点和探究价值
生活中的素材有很多，选择哪些素材作为数学探究的探究工具呢？这需要充分利用各类素材本身的特点。
（1）游戏类素材，如扑克牌、骰子、魔方、七巧板、小球等。这些素材可在一定的规则范畴下重复操作，便于规律的探究。
（2）操作类素材，如绳子、正方体、火材棒等。这些材料容易裁剪和拼摆，其操作的便捷性和形状的特殊性便于相关数学知识的实践探究。
（3）其他日常素材，如A4纸、乒乓球等。这些素材看似普通，但一旦找到值得研究的驱动问题，将大大激发学生的探究兴趣，例如“为什么A4纸就是这样的尺寸？”、“乒乓球的体积怎么算？”等。
（二）创设问题空间，变学材为教学
有了合适的学材，需要把学材、学生和教师合理组织起来，构建有实效的“教学”，而“问题空间”正是把学材转变为教学的重要支架。在组织设计时，需要围绕学材创设相应的问题空间，把学习置于真实的情境中，把问题设定为真实场景的相关任务，把学生定位成解决问题的核心力量。
1.围绕学材，提出核心问题
拓展课教学中，核心问题的来源，主要来自于教材和生活。
①以核心知识为主题
从教材知识出发，挖掘可延伸拓展的知识点，提出核心问题。
【案例3】怎样围面积最大？
三年级下册学习中，从核心知识——“周长和面积”之间的关系出发，通过正方形的拼摆，学生已认识到：周长一定时，长和宽越接近，图形的面积越大，即围成正方形时面积最大。在此基础上，可以继续探究：“如果用一根长度固定的绳子一面靠墙围，怎样围面积最大？”
②将现实问题数学化
生活中有很多现实问题，以数学的眼光审视和分析问题，是另一种提炼核心问题的策略。
【案例4】A4纸中的秘密
A4是日常生活中经常用到的纸张型号。为什么国际通用的A4纸的尺寸非要210x297mm这么大？这一现实问题的背后，其实隐藏着很多跟数学知识相关的联结：A4纸到底怎么来的？它与A3/A5这些A系列纸的大小、面积等有什么关系？为什么A系列纸的比例一定要保持1.414:1，而不保持1.618:1？围绕这些数学问题，以A3/A4/A5纸为学材，利用推理，借助比的知识，可将这些现实问题赋予浓郁的数学探究味。
2.借助学材，扩大探究空间
好的学习材料，能为学生的学习创设较大的问题空间，让学生在问题空间中，调动已有的知识联结，尝试解决问题。
【案例5】抢地盘游戏
在长方形正方形面积计算练习为基础的拓展教学中，设计在方格纸中进行蚂蚁抢地盘的游戏场景（如右图），激发学生逐步探究在P点的移动过程中S1、S2、S3、S4四部分面积间的关系：①S1和S2的变化；②S1+S2的变化；③S3和S4的大小关系以及变化趋势；④S1+S2+S3+S4是否确定？⑤S1+S2与S3+S4的大小比较。这些问题的设计由简单到复杂，由单一到综合，突破了静态的问题空间，让学生的思维跟着P点动起来。
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三、寻绎：基于学材研发的数学拓展性教学的实践组织
基于学材研发的拓展课的设计和实践，可分为以下不同的类型：知识延伸类、游戏活动类、规律探究类、生活问题类。虽然每一类拓展课的教学组织形式和侧重点有所不同，但基于学材研发的拓展性教学中，均充分利用了研发学材的特性，让每一类拓展课的教学深度发生。
（一）知识延伸类：让新旧知识顺利链接
知识延伸类拓展课，是基于课内知识的拓展教学。在教学中，为使旧知和新知顺利衔接，可借助研发的学材，让两者的契合度大大提升。教学组织形式可参考下图：
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图5 知识延伸类拓展课教学流程
【案例6】小票中的巧思妙算
在人教版二年级上册教学“表内乘法（二）”后，开设了一堂拓展课《小票中的巧思妙算》，知识储备为100 以内加减法、表内乘法，教学目标是借助图形操作，提高学生简便计算的意识和能力，活动材料为一张有缺失的购物小票和相应购买的几何图形若干。教学中，首先回顾用一般方法计算“一共花了多少钱”，进而利用几何图形的可组合性和可分割性，数形结合，尝试探究简便计算，学会“打包”巧算，为后续的乘法分配律教学做好孕伏。同时，进行分类整理，适度建模，让学生明白不同类型的计算可以采用不同的策略解决，例如分一分、补一补等，最后通过相关练习进行巩固拓展。
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图6 《小票中的巧思妙算》教学示意图
（二）游戏活动类：促猜想实践充分展开
在游戏活动类拓展课的教学中，往往需要经过多次猜想和尝试，才能得出结论。因此，学材的设置应多样，供学生多次操作。得出结论后，还应从数学的视角适度分析背后的原因。
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图7 活动游戏类拓展课教学流程
【案例7】一张纸对折42次可以到达月球吗？
四年级上册《大数的认识》教学完毕后，在探月情境的引入下，提出核心问题：一张纸对折42次可以到达月球吗？鼓励学生经历多次猜想和实践：尝试了对折A4纸和卷纸，发现纸张很难对折多次。但在操作过程中，可以发现对折次数和纸张层数之间的规律，由此可以借助10张纸、100张纸的厚度推算出一张纸对折42次后的高度。得出结论：从理论上讲，这个高度可以到达月球。最后，进一步引导学生思考这神奇现象背后的原因，渗透指数函数的思想。
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图8 《一张纸对折42次可以到达月球吗？》教学示意图
（三）规律探究类：使分类探究直观外显
规律探究类的拓展课，往往需要借助学材进行分类研究，借助学材的直观性，分类呈现操作结果，并进行归纳整理，得出规律。
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图9 规律探究类拓展课教学流程
【案例8】圆饼切切切
《圆饼切切切》属于典型的规律探究类拓展课：切一块圆饼，相同的刀数怎样才能切出最多的块数？教学中，从简单的切1刀和切2刀入手，深入探究切3刀、4刀的情况，借助橡皮泥的直观性，可分类清晰呈现交叉点个数和所切块数之间的关系。并在此基础上引导学生归纳整理，感悟切的刀数和最多可切成块数之间的关系：切n刀时，最多可以切成（1+1+2+3+4+……+n）块。
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图10 《圆饼切切切》教学示意图
（四）生活问题类：用数学思维抽象建构
生活问题探究类的数学拓展课，往往需要将生活问题提炼为数学问题，制定研究方案，在此基础上进行操作实践，得出结论并加以应用。
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图11 生活问题类拓展课教学流程
【案例9】盲文中的数学问题
该课是在三年级上册学生学习了“数字编码”后研发的一节拓展课。教学一开始就引出研究主题“盲文”，引导学生思考这一生活问题：“盲文究竟是什么，是怎么摸出来的？”在简单了解盲文产生的历史后，与学生一起将生活问题转变为数学问题：在6个点中以涂色的方式表示点的凸起情况，有几种编码情况，并研发方案：从“1个点凸起”、“2个点凸起”、“3个点凸起”……逐层分类探究编码情况，感悟盲文编码的有序性，也从中发现反向编码“4个点”和“5个点”凸起的优势，得出6个点可以编码63种情况的结论。并在最后让学生尝试用一用这些编码表示两位数和三位数，真实体会生活中的盲文是如何建构的。
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图12 《盲文中的数学问题》教学示意图
四、深思：基于学材研发的数学拓展性教学的价值建构
借助研发学材开展小学数学拓展性教学，是一种能力导向的教学，落脚点是学生数学思维的发展，是学生解决问题能力和数学综合素养的提升。同时，学材的研发、拓展性教学的设计，也是对数学教师自身专业能力的挑战。
1.突显直观操作，促进数学思维可视
小学生的思维运算离不开具体事物的支持。基于学材研发的数学拓展性教学，倡导以学材为重要工具进行发现学习、研究性学习。教学中，拼摆磁力片研究正方体展开图、移动绿豆研究病毒传播途径等，都突出直观操作的重要性。实物操作让数学思维可视化，以此在新旧知识结构中搭建桥梁，降低教与学的难度。
2.培养工具意识，丰富问题解决策略
数学学习材料是学生学习数学的重要工具。基于学材研发的数学拓展性教学，不仅要帮助学生树立正确运用教师所提供的学习材料解决实际问题的工具意识，更要培养学生“自助”的能力。当遇到新的问题时，尝试主动寻找合适的“工具”展开研究，激活相关联的认知结构，逐渐丰富和完善问题解决的策略。
3.基于问题解决，提升核心素养能力
“问题解决”是拓展性教学的核心。基于学材的拓展性教学，往往围绕学材提出核心问题，例如：“A4纸的尺寸为什么是这样的？”“一张纸折叠42次能到达月球吗？”等。围绕这些问题，学生尝试依托学材进行规律探寻、追根溯源，唤醒原先碎片化的知识，综合运用知识和经验寻找解决问题的策略，并通过推理得出结论，大大提升学生的数学综合素养。
4.更新教学方式，孕伏项目学习模式
基于学材的拓展性教学，是对小学数学教学方式的有效补充。教学中，教师是引导者，学材是重要媒介，学生才是发现和解决问题的主动建构者。这类教学方式更为项目学习做好了准备。
【案例10】哪部电梯来得快？
在三年级拓展内容《哪部电梯来得快？》中，研究生活情境中的电梯问题。学生在体验观察、合理假设、多次测量的过程中，重点抽象出底层上客时间、每上一层的时间等若干个关键因素，考察这些因素对电梯运送一趟的时间的影响。并在此基础上进一步画图推演探究和比较“单双层停靠模式”和“高低层停靠模式 ”等电梯运行方式的不同。这样的拓展性教学其实已经孕伏了项目学习的影子，问题意识的唤醒、方法技能的准备，都将大大有利于项目教学的展开。
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图13 《哪部电梯来得快？》教学示意图
5.挖掘拓展资源，创设有效研究平台
基于生活日常物品、生活事件的学材研发，多为拓展性学材。这些学材的研发，为一线教师的拓展性教学积累了丰富的资源。另外，教师的专业发展路径是多元的，要完成从教书匠到学者型、研究型教师的转变。学材研发工作恰恰锻炼了教师的教材处理能力、教学设计能力，为后续课例、课题研究做好储备。
总的来说，开发和积累研究性学材，大大焕发了数学学材的生命活力。以此展开的数学拓展课堂，在深度教学中拓宽探究空间，培养数学学习的综合素养，满足学生数学思维发展的需求。
参考文献：
[1]陈加仓.小学数学拓展课的素材开发策略[J]小学数学教师,2019,6:9-13.
[2]段安阳.从“教材”到“学材”，重构“学”的课堂——小学数学学材开发的价值探寻与实践建构[J]小学数学参考,2015,9：3-6.
[3]朱岩.工具意识：和“学材”对话，让数学学习从“求助”走向“自助”[J]小学教学参考,2019,32:14-17.