段宏博 张瑶 汪永娟 王晓春
（哈尔滨石油学院 数理部，黑龙江 哈尔滨 150006）
摘要：复变函数与积分变换是高等工科院校重要的一门专业基础数学课，它的理论、方法和应用是很多工科专业课程的数学基础。本文针对独立院校应用型人才培养的目标及复变函数与积分变换课程体系，本着理论联系实际，将复变函数与积分变换课程的教学内容与学生后续学科专业课程结合。结合后，重视实际应用可以提高课堂的教学效果，并提出了相应的教学方法的探索。
关键词：复变函数与积分变换 专业 教学研究
一、引言
复变函数与积分变换是高等数学的后续课程，是自动控制、机电等专业的必修基础课，其理论思想和方法已经广泛的应用到电路分析、自动控制理论、信号与系统分析、过程控制、通信原理等多门专业课中。该课程主要包括两部分内容，一是复变函数，二是积分变换。复变函数知识包括复数、复变函数、解析函数、复变函数积分、泰勒级数和洛朗级数、留数及应用；积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于该课程抽象的数学概念理论较多，具有与实际应用相结合的特点，要求学生有很好的高等数学的基础。还存在着教学授课学时相对少的情况，因此学生在学习的过程中存在重视度不高，难以掌握的问题。因此，为提高学生的基本数学素质和将课程知识在后续专业课程里的实际应用能力，如何在有限学时内，将这门课程变得生动有趣，提高学生的学习积极性，又能更好满足应用型本科院校专业人才培养的要求，在教学方面做出了一些有益的研究和探索。
二、内容上与专业结合，重视实例在教学中的应用
在课堂教学中，从学生专业工程背景出发，课堂中酌情选取实际例子，将专业课和数学基础课所交叉的知识结合在一起，真正做到强化应用，重视实践能力的培养。对于自动控制专业和机电专业的学生在后续专业课程中应用拉氏变换的地方较多，因此要重点讲解。将信号与系统中的问题引入复变函数课堂。如选取系统应用例题：已知描述系统的微分方程为
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引用实际专业例子后，使学生对积分变换的理解更深刻。
三、采用对比教学方法，
高等数学研究的主要对象是实函数，复变函数与积分变换是应用实函数的思想理论方法来研究复变函数。实变函数与复变函数的理论虽然有形式上的相似，但是存在很多本质的区别. 在讲解复变函数的三角函数时，要对比实三角函数的性质。从复变三角函数和实变三角函数定义形式上看二者相同，但是比较二者的性质，实变三角函数的模长小于等于1，但是在复变三角函数的模长是任意的，并非是一定有界的。在讲解的过程中运用比较的教学思想，使学生感受深刻理解复变函数中初等函数的性质。
在讲解复变函数解析概念时，要强调函数在一点可导和解析的区别。变函数可导是在一点可导，而复变函数解析的定义是函数在这点的领域里每一点都可导。复变函数在一点解析一定在这点可导，反之未必。可见函数可导是局部概念，函数解析是整体概念。通过对比，让学生深刻地理解两个概念的之间区别。
在讲解复变函数积分时，注意计算方法的比较。复积分的计算可以采用多种方法来计算，第一种是用参数方法来计算，需要被积函数和积分路径的参数方程。第二种方法是用柯西积分定理来计算，柯西积分定理的内容是在单连通区域内解析的函数沿闭曲线积分为零，因此先判断围线积分是否满足柯西积分定理的条件，如果满足则围线积分为零。
第四种方法是留数定理，将沿闭曲线的复积分的问题转化为孤立奇点处留数计算的问题。通过这些方法的比较，学生在计算积分的时候就会根据不同要求来选择合适的方法来计算积分了。
四、重视课程思政在教学过程中的渗透
当前课程改革的目标不仅要给学生传授课程知识，还要培养学生树立正确的人生观、价值观、世界观，将教学和思政紧密的结合起来。在讲解复变函数极限定义时，告诉学生极限的思想就是无限接近，努力坚持，才能到达成功的彼岸。不仅让学生有所感悟，还要让学生懂得用长远的眼光看问题；复变函数积分定义的数学思想是分割、作积、作和、取极限，这个思想可以引导学生在处理问题时可以将问题分为一个个小问题再一步步完成，让学生感悟到遇事要动脑去分解，理性的看待问题；讲解傅里叶和拉普拉斯变换的理论时，深入分析这两种变换对自动控制系统巨大推动作用。
在实际教学中，将思政教育渗透于无形之中。数学的思政教育最终目的是提高学生的爱国素养，让每一名同学都要发展，但不必求一样的发展，每一名同学都要提高，但不必是同步的提高。学生不会说的，你鼓励他说，学生说不准的，你引导他说，学生说不好的，你帮助他说，学生说不了的，你示范着说。
五、简化理论推导
《复变函数与积分变换》作为一门高等学校大学数学基础课，在进行教学时，会遇到定理的复杂证明与公式推导，但是其工程应用性才是最重要的，那么在备课时简化对定理的证明和公式的推导，课堂上向学生强调其理论方法思想，强调本课程的实际应用型，同时，把积分变换部分的内容与工程实际联系，以实际应用为背景，切实解决数学理论与工程实际脱节的问题，使得理论与工程应用相互补充，相得益彰。
因此，应用型本科院校对《复变函数与积分变换》教学的研究不仅仅要在内容上，还要在教学方法等方面进行探索。
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