蓝勇
广西壮族自治区来宾市第四中学，广西 来宾 546100
[摘要]数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法，应用十分广泛。本文主要从数学归纳法的原理、步骤及其在高中数学中的应用进行阐述，目的说明数学归纳法在高中数学教学中的重要作用。
[关键词]数学归纳法原理；步骤；应用
数学归纳法是高中数学中最常用的一种证明方法，它虽只适用于与正整数有关的命题，但它在高中数学中的地位是非常高的。数学归纳法既是每年高考的一个考点，又是一个难点。步骤虽简单，但很多学生不能真正掌握，难以理解其原理，尤其是证明当时，有极少同学能证得出。很多同学都停留在生硬的记忆和牵强的套用，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应用?在哪些类型题上可以使用数学归纳法?数学归纳法又有哪些局限性?在本文中先通过对数学归纳法定义及其基本形式理解的基础上，进一步论述了数学归纳法在解决有关证明猜想、证明等式、证明不等式、证明整除、解决几何问题及数学归纳法和其它知识点的交汇等问题中的应用。因此我们要理解其本质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。
数学归纳法的原理：
自然科学的“经验归纳法”，是从某一现象出发，总结归纳出所有情况的一般规律；而数学归纳法则完全不同，它用来证实无限序列（第一、第二、第三、……没有一个情况例外）的数学定理的正确性.
数学归纳法的基本步骤是：
（1）验证:当取第一个值（）时，命题成立；
（2）在假设当（）时命题成立的前提下，推出当时，命题成立。
根据（1）（2）可以断定命题对一切从开始的正整数都成立。
类型一：利用数学归纳法证明猜想
例1：在数列{an}中，．
（1）求出a2，a3并猜想an的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
解：（1）由得：
，，
猜想；
证明：（2）当n＝1时，，结论成立；
假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即，
那么，当n＝k+1时，，即结论成立．综上可知，对任意n∈N*，都有成立．
类型二：利用数学归纳法证明等式
应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式：整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明。证明过程中只要实现证明等式左右两边相等即可。
例2：用数学归纳法证明：1+5+9+13+…+（4n﹣3）＝2n2﹣n（n∈N+）．
证明：1、当n＝1时，左边＝1，右边＝2×12﹣1＝1，
左边＝右边，等式成立；
2、假设当n＝k时等式成立，即1+5+9+13+…+（4k﹣3）＝2k2﹣k，
那么，当n＝k+1时，左边＝1+5+9+13+…+（4k﹣3）+（4k+1）
＝2k2﹣k+4k+1＝2k2+3k+1＝2（k+1）2﹣（k+1），等式成立．
综1、2所述，1+5+9+13+…+（4n﹣3）＝2n2﹣n（n∈N+）．
类型三：利用数学归纳法证明不等式
数学归纳法在证明不等式问题方面有着广泛的应用，可以优化解题过程，提高解题效率。在运用数学归纳法证明不等式问题时，若直接进行证明，往往难度较大。此时，需要借助不等式的可加性和传递性，细心观察，大胆联想，适时假设不等式与目标不等式的特征关系，从而使问题迎刃而解。
例3：用数学归纳法证明不等式：+++…+＞1（n∈N*且n＞1）．
证明：（1）当n＝2时，左边＝，∴n＝2时成立
（2）假设当n＝k（k≥2）时成立，即
那么当n＝k+1时，左边＝
＝
＞
＞1+＞1
∴n＝k+1时也成立
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）
类型四：利用数学归纳法解决几何问题
在数学解题过程中，运用数学归纳法解决几何问题，需要借助由特殊到一般的方法。先进行猜想，得出一般性结论用于假设条件，然后再运用数学归纳法，由特殊值开始论证，以验证特殊性的成立。接着，证明假设条件n=k时命题成立，从而分析推导出n=k+1时的命题也成立。
例4：平面内n条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，n∈N*．
设空间内n个平面最多可将空间分成f（n）＝an3+bn2+cn+1个部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）用数学归纳法证明此结论．
解：（1）由f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，得，解得．
（2）用数学归纳法证明．
①当n＝1时，由（1）的计算可知结论显然成立．
②假设当n＝k时命题成立，即，
那么当n＝k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面，
因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划分成个部分．
每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了个，
所以f（k+1）＝f（k）+
＝+＝，
即n＝k+1时，结论成立
根据①②可知，
类型五：利用数学归纳法证明整除问题
例5：用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．
证明：在证明n＝k＋1成立时，为了利用上归纳假设，需对n＝k＋1时的式子进行添加项，配凑成n＝k时的形式．
(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3，显然能被x2＋3x＋3整除，命题成立．
(2)假设当n＝k时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么当n＝k＋1时，(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1
＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1
即n＝k+1时，结论成立
根据（1）（2）可知，(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．
通过以上例题，本文对数学归纳法的基本形式，及在高中数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等，一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进行了剖析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科技迅速发展的今天，人们对数学归纳法的研究已经取得了巨大的进步，对于如何更好、更广泛的应用数学归纳法仍需要我们继续努力研究。何时用归纳法何时不用，高中数学归纳法还可以在哪些领域应用，还有待我们进一步仔细研究和探索。
参考文献：
[1]邱奉美，刘峤.数学归纳法在高中数学教学中的应用研究.数学教育学报,2013(03).[2]吴值飞.数学归纳法原理及其在代数中的若干应用[J].高等数学研究,2020(11).
[3]纪定春，赵思林.数学归纳法的文化性、重要性与教学可行性.内江师范学院学报,2019（04）.
[4]程克玲.数学归纳法及其应用[J].赤峰学院学报（自然科学版）第27卷第3期，2011.3