杜孝凯
山东省济南市市中区经纬学校，山东 济南 250000
学情和教材分析：
本课是人教版小学数学六年级下册第五单元鸽巢问题第一课时，我就教材例 1“把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？”的问题随机调查了几位六年级的学生。学生直觉上都认为结论是正确的，但无法清楚地阐述原因。主要有以下几点原因： 一是学生对抽象的语言存在理解上的偏差。二是这一类存在性问题有其独特的思维方式。学生习惯于将问题与答案一一对应。而抽屉原理阐述了“不确定中的确定”，无论是原理的叙述还是证明，都无须明确找出这个抽屉，也无须深究这个抽屉里到底有多少个珠子。只须确认符合要求的抽屉“一定存在”即可。面对这样一个存在性问题，学生思维上必须有所跨越。
教材采用的是“问题情境+规律表达+要求证明”的方式，我认为这种方式无法有效驱动学生思考和表达，缺乏探究空间。另外，此情境中是“人”在放铅笔，而“人”是具有主观性的，对于结果是可控制的，这很容易给学生造成一种误区：即将放铅笔这件事看成一个确定性事件！而抽屉原理是在不确定当中，发现规律。即放铅笔这事儿本应当是一个随机事件。如果让“人”的因素参与进来，无疑弱化了这种随机性。
针对上述学情，我想：能否设计一个情境，满足以下三个要求：1、要有任务驱动，要有“真问题”，要真正引发学生的困惑，要真正点燃学生的思维。2、尽量摒除“人”的主观因素，突出事件的随机性。3、大道至简，情境要简明有效。经过一段时间的思考之后，我进行了这样的设计（如图）：
以下是教学过程 ：
一、游戏激趣，初步体验
同学们，你们玩过弹珠台的游戏吗？播放弹珠台游戏小视频。你看懂了吗？谁来说说是怎么玩的？
小明，你回答的真好！老师决定奖励你一些珠子，想不想要？你有两种选择：
①拿走2个珠子；
②玩4次，拿走其中一个格子里的珠子。
（为了研究方便，我们假设珠子落到每个格子里的可能性相等）
要想得到尽可能多的珠子，应该选哪个方案？大家静静地想一想。请说说理由。
预设：有的学生选①，有的学生选②。更多的学生认为选①和选②无所谓，此时学生想到是是2,1,1这种情况，选①和选②都是能够拿走2个珠子。
设计意图：这是一个比较好的驱动探索任务，也是一个富有挑战性的问题。学生之间有分歧，说明学生对这个问题的认知有差异，这就有了讨论、分析的必要，是引导学生卷入探究活动的强大动力。即立足学生的真需求，让学习真正发生。
现在，请你打开iPad上的弹珠台游戏，试一试吧,看看跟你想的一样吗？
利用信息技术将学生玩游戏的结果收集到大屏上。
现在，你能不能告诉老师，该选几？为什么？
我们来看：如果选①，那么拿走几个？要是选②呢？这是全班同学玩游戏的结果：4，0，0；0,4,0；0,0,4；3，1，0；3，0,1；1,0,3；1,3,0；0,1,3；0,3,1；2，2，0；2,0,2；0,2,2,；2，1，1；1,2,1；1,1,2。
同意选②的请举手。你能不能给小明同学一个理由，告诉他为什么选②？
现在，我们来捋一捋，如果选①，那么一定拿到2个珠子。如果选②，那么可能拿到2个、3个、4个珠子。也就是至少能保证拿到几个？（板书：至少有2个珠子）
在玩之前能不能确定最终能拿几个？生：不能确定，只能确定至少2个。
请看黑板，你有什么问题吗？你说至少有2个，这儿有0个呢，这儿还有1个呢，你怎么理解？根据学生的回答补充板书：总有一个格子里。
在玩之前能不能确定要从哪个格子里面拿？生：不能确定哪个格子里的珠子最多，得玩过之后才知道。
设计意图:借助现代信息技术，引导学生走出理解抽屉原理的一个重要误区，即：不能把“将4个珠子放进3个格子里”这个事件看成是一个确定性事件！而是一个具有随机性的随机事件。让学生经历思考、辩论、操作，逐步感悟原理，增长智慧。
二、动手操作，感知规律
小玲同学真会思考，老师要奖励小玲。奖品还是珠子。她有以下两个选择：
①直接拿走3个珠子。
②玩5次，拿走一个格子里的珠子。
组织讨论：要想拿到尽可能多的珠子，你建议小玲同学怎样选择呢？
很多学生选②。
请你把所有可能的结果有顺序的写下来。（板书）然后再次交流后学生改变主意：选①是拿走3个珠子；选②可能拿走2个、3个、4个、5个。这时，老师再次追问：如果建议小明选②，有理由吗？让学生进一步明白：选②，虽然有只能拿到2个珠子的风险，但也有得到4个、5个珠子的希望。从而更加全面、深刻的理解抽屉原理。通过深度讨论，学生逐步体悟到，有时候，数学能够帮助我们做出唯一正确的选择，但更多时候，数学只能帮助我们分析、理清解决问题的思路，每个人还需要根据自己的意愿，决定选择稳妥还是冒险。
设计意图:采用问题情境串的设计方式，让教学更加有整体性。由于情境一的思维惯性，非常多的同学选择②。此时，抓住学生的认知冲突，在辨析中深入理解抽屉原理。
介绍狄利克雷发现抽屉原理的历史。启发学生抽屉和鸽巢就相当于游戏中的格子，苹果和鸽子就相当于游戏中的珠子，初步建立数学模型。
三、质疑深入，探究规律
把101个苹果放入100个抽屉，试问是不是一定存在某个抽屉，它里面至少放了2个苹果？（说明这里的苹果和鸽子相当于珠子，抽屉和鸽巢相当于格子。）
①还来得及把所有可能的情况都写出来吗？
②怎样论证你的结论？
③在放之前，知道到底是哪个抽屉里的苹果至少有2个吗？
④在放之前，能不能肯定该抽屉里恰好就是2个苹果？
深度讨论后得到结论：只知道存在这么一个抽屉，里面的苹果数≥2，却不知道到底是哪个抽屉。只知道这个抽屉里的苹果数≥2，却不能肯定有几个。这是一个看起来无法回答的问题，最后经过思考和分析却得到了正确的答案，理性的力量让人震撼。其实，在我们的语文教材中就有这样的意境：贾岛的诗作《寻隐者不遇》中写道：松下问童子，言师采药去。只在此山中，云深不知处。这里的“师”就像那个“抽屉”，只知道存在这样的抽屉里面的苹果至少有2个，却不知道到底是哪个抽屉。
设计意图:数据变大了，用枚举的方法还行得通吗？本环节创设认知冲突，引发学生思考，进行学法指导。启发学生从“最不利”的角度考虑，用假设的思路进行推理，最终得到正确的结论，体现了思维的深刻性。张奠宙教授指出：抽屉原理并不是靠穷举各种情况再加以归纳出来的，恰恰相反，学习抽屉原理的意义在于丢开穷举检验，诉诸逻辑论证。
四、学以致用，解决问题
（1）咱班任选3人，你能想到什么规律？任选13人呢？咱们学校有367人，联系今天学习的鸽巢原理，你又能想到什么规律呢？
（2）将自己父母的手机号写下来，联系今天学习的内容，你能得到什么结论？
讨论后呈现规律：至少有2个数字重复出现。在学生说明思考过程后，统计“2个、3个、4个数重复”的情况，进一步体会原理。
设计意图:本环节采用“只给情境，让学生自己发现和表达规律”的方式，力图给学生更大的思维空间和表达自由。