王蓉
新疆维吾尔族自治区石河子市石河子第一中学，新疆维吾尔族自治区 石河子 832000
摘要：带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题是高中磁场部分教学中的难点，在高考中考查的频率很高，本知识点既联系了匀速圆周运动的内容，又承接带电粒子在磁场中所受洛伦兹力的内容，既是力学知识和电磁学知识的综合体现，又是临界极值问题的全新知识模型的建构，对学生的思维能力要求较高，可以很好地考察学生的核心素养 。
由于带电粒子往往是在有界磁场中的运动的，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场，其轨迹不是完整的圆。这类问题往往根据带电粒子的运动轨迹做出相关图示去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应的物理规律分析求解。
关键词：有界磁场；动态放缩法；临界问题；极值问题
1.动态放缩法
在空间内存在一个无限大的匀强磁场。一个带负电的粒子以某一速度垂直进入该磁场，那么该粒子就会在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。根据洛伦兹力提供向心力就可以得出R=mv/qB,当粒子速度增大时，轨道半径不断增大，轨迹圆不断变大。
那如果现在限定这个磁场是一个有界磁场。则粒子在磁场中的运动就存在了临界极值问题。比如，当磁场边界缩小到与运动轨迹相切时，那么轨迹与边界的切点便是粒子运动的临界点或极值点。当带电粒子在有界磁场中运动，粒子速度同向不同速时，其做圆周运动的圆心都在磁场边界上，v的大小或者B变化时，轨道半径随即变化。可以入射点为定点做出半径不同的一系列轨迹。当轨迹与右边界相切时，粒子恰好能从左边界射出磁场，即恰好不能从右边界射出磁场。这种以入射点为定点做出半径不同的一系列轨迹，来确定粒子运动的临界和极值问题的方法称为动态放缩法。画出与边界相切的临界轨迹、找到临界点、极值点，根据几何关系确定临界极值条件是解决问题的关键。
2.双边界磁场的临界极值问题
如图1，不同速率的带点粒子垂直进入有界磁场，根据左手定则可以判断带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心都在它所受到的洛伦兹力的方向上。粒子速率不同、轨道半径就不同，磁感应强度B的大小不同、轨道半径也不同，动态放缩法就是以入射点为定点，在磁场中做出半径不同的一系列轨迹圆，尤其要关注的是与磁场边界相切的轨迹圆，切点往往粒子运动的临界和极值点。
比如当轨迹与右边界相切于A点时，切点A就是粒子恰好能从右边界离开磁场的临界点，或者说切点A是粒子恰好不能从右边界离开磁场的临界点，此时半径刚好等于有界磁场的宽度d,当粒子半径小于d时，粒子不能从右边界离开磁场?；当粒子半径大于d时，粒子就会从右边界离开磁场，所以说A点就是个临界点。
3.矩形边界磁场的临界极值问题
如图2，粒子从O点沿y轴正方向进入磁场，根据左手定则就可以判断出来粒子受到的洛伦兹力方向就沿x轴负方向。同理，粒子速率不同?、轨道半径就不同，我们在磁场中以入射点O点为定点，做出与磁场边界相切的轨迹圆，就可以寻找临界点和极值点。比如，当轨迹与AB边相切与M点时，粒子做了不到半个周期的圆周运动，那么切点M就是粒子从AB边离开磁场的临界点，当粒子半径小于切点M所对应的半径时，粒子就只能从BC边离开磁场了。当粒子半径大于切点M所对应的半径时，粒子就从AB边的AM之间离开磁场。
通过以上分析可知，与边界相切的轨迹是解决临界极值问题的关键轨迹。当轨迹与BC边相切于C点时，切点C就是粒子从OC比离开磁场的最远点。粒子半径若继续减小，粒子就都从OC边离开磁场，且都是半个周期的圆周运动。就是我们利用动态放缩法分析解决问题的一个过程和思路。
例1. (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)，若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )
A．该带电粒子可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是3/2t0
C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是4/3t0
分析：粒子沿虚线以不同速率进入磁场，符合粒子同向不同速的特点，可以利用动态放缩法来分析。由题意可知，粒子从O点垂直于cd方向进入磁场，刚好做半个周期的圆周运动后从C点离开磁场，那么时间t0和周期T之间的关系就确定了。当粒子以不同的速率沿虚线进入磁场，利用动态放缩法在磁场中做出与磁场边界相切的几个关键轨迹。如图切点A点、C点、E点这三点分别是da边、ab边、bc边的粒子离开磁场的临界点。由此就可以确定粒子不可能从四个顶点离开磁场。
BCD三个选项考察的是运动时间，那我们就结合这几个与边界相切的关键轨迹来分析。当轨迹与da边相切与A点时、轨迹所对应的圆心角为60度，当轨迹与ab边相切与C 点时，轨迹所对应的圆心角为150度。那么所有从ab边离开磁场的粒子就全部从图中绿色区域离开，那从这个区域离开磁场的粒子轨迹所对的圆心角就大于60度而小于150度，运动时间就大于1/6T而小于5/12T，即大于1/3t0而小于5/6t0,那么B选项中的2/3t0在这个范围之内，故B选项正确。
同理，当轨迹与bc边相切与E点时，轨迹所对应的圆心角为240度。那么所有从bc边离开磁场的粒子就全部从图中粉色区域离开，那这些不同速率的粒子轨迹所对的圆心角就大于150度小于240度，运动时间就大于5/12T而小于2/3T，即大于5/6t0而小于4/3t0,那么C选项中的t0也在这个范围之内，故C选项正确。
当粒子半径小于G点所对应的轨迹半径时，粒子都从OG之间离开磁场，即图中黄色区域，粒子轨迹所对应的圆心角都为300度，运动时间就等于5/6T=5/3t0.故D选项错误。
4.结语
通过以上的分析就可以发现临界点和极值点往往就存在于与磁场边界相切的轨迹上。所以解决这类问题的一般方法就是：
(1)运用动态思维，作出与磁场边界相切的临界和极值轨迹图；
(2)寻找几何关系，分析临界条件，总结临界和极值点的规律；
(3)然后应用数学知识和相应物理规律列方程求解。