汤丹
云南省昆明市第一中学
内容提要 本文通过信息技术在三角函数教学中 “对函数y＝Asin（x+）图象的影响”这个内容的三次教学方式的对比思考，试图阐明：在数学教学中信息技术与数学课程教材的整合“必须以恰是恰地的应用和体现数学的本质”为最终目标，否则只能收到适得其反的效果．本文选取了在三角函数教学中作者在实际教学中的三次经历，以案例的形式突出在信息技术下，学生对于数学知识的发现、数学本质的体现、学生的思维发展、信息技术的作用相融合的研究过程.
主题词 多元联系表示 数学本质 信息技术与教学内容整合
一、对过去教学的思考
关于“y＝Asin（ωx+φ）的图象”的内容，学生时代学过，作为教师，又运用传统的方法教过.当信息技术工具--图形计算器、几何画板等一系列信息技术工具全面普及后我高声呐喊：“信息技术是研究函数图象性质的利器”．课堂效率提高了，学生的学习主动性调动起来了．2000年、2012年，我曾经两次运用信息技术（TI-92plus图形计算器）对该内容进行教学，在课堂练习中，同一道练习题学生的表现引起我深深地反思。
.png)
这道题学生做对的只占百分之二十．这究竟是什么原因呢？
(一) 对第一次教学的反思：
1、教学简要过程
学生活动：
利用TI-92PLUS图形计算器,在同一坐标系中固定A、ω的取值，分别作出φ取不同值时的函数图象，如图1．固定A、φ的取值，分别作出ω取不同值时的函数图象，如图2．，
.png)
教师活动：利用信息技术向学生展示φ、ω变化时的动态图象，引导学生总结规律，如图3．
2、教学反思
通过课后调查发现：学生通过对图象动态或静态的观察，只能得出“φ的符号与函数图象的平移方向的相关性”的结论．但对的数量与平移单位之间的联系却无法通过观察得出．而教师活动中的动画展示也仅仅起到相对于学生的“静态”研究“好看”的效果，图象变换的数学本质：“图象变换依赖于解析式中的参数变化”并没有得到反映，没有完全达到我们的教学目的．很明显技术所呈现的“精彩”并未对数学本质体现起到桥梁作用.
(二) 对第二次教学的反思：
1、教学简要过程
学生活动:在同一坐标系中固定A、ω的取值，分别作出取不同值时的函数图象．
.png)
教师活动:让学生思考在两条图象上应取两个满足怎样条件的点、又怎样观察，达到研究的变化对函数y＝Asin（ωx+φ）图象的影响？
学生活动:通过技术手段而发现规律，并·思考现象与·数学本质之间的联系，如图4．
.png)
2、教学反思：相对于第一次教学的根本进步在于：通过图象上点的坐标的数量变化与图象的变换形成联系，有助于学生对φ的数量与平移单位之间的联系得出正确结论．虽然两次教学中运用信息技术的理念发生了深刻的变化，但在课后的教学反思中觉得，对问题情景的设计欠缺，学生的认知过程比较单一，“多元联系表示”的认知方式还没有充分落实．学生对函数图象变换的本质：“参数变化引起图象上点的坐标的数量变化”还没有很好掌握，结果导致反馈没有达到要求．
2020年12月11日我在昆明第一中学高一四班又进行一次教学，对技术与教学整合的观念的不断进步，使我终于有了成功的感觉.
二、“多元联系表示”下的知识构建：
（一）提出问题：
.png)
教师：利用CBL系统向学生展示低压交流电电压随时间的变化关系，刚才我们观察到低压交流电电压随时间的变化关系图象，如图5．同学们想一想这个变化关系与y＝sinx的图象有无关系？
学生：是将y＝sinx的图象进行了某些变化后得到的，具体来说图象在横向和纵向上都发生了变化．
教师：今天我们一起研究函数y＝Asin（ωx+φ）中参数A、ω、φ对函数图象的影响．(写出课题)对于这两个函数图象之间的关系你打算采用什么方法去研究？
学生A：对A、ω、φ 三个参数固定其中两个，取其不同的值，，用信息技术工具分别作出它们的图象，然后运用从特殊到一般的思想，就可得到A、ω、φ三个参数的变化对正弦型函数的影响．
学生B：我有不同的意见，用上述方法我实验过，A、ω的数量变化与图象变化的关系可以根据图象反映与简单的推理就可以得到结论，但φ的变化对图象的影响却无法观察得到．所
.png)
学生丙：我的思考受到前面同学的启发，但和它们所不同的是：我在思考是否可以从最一般的抽象函数f（x）出发去思考解决图象变换的数学本质？具体的想法是：
设（x，y）是函数f（x）图象上的任意点，我们可以试图解决点（x + φ，y）在与f（x）相关的什么函数图象上，进而可以解决点（ωx+φ，Ay）在什么函数的图象上？但目前结果还未最终得出.
.png)
（他的回答得到很多同学的赞叹）
教师评价：图象变换的本质是函数图像上点坐标的数量变化，比较这三种解决方案，同学甲的方案是我们常用的从特殊到一般的研究方法，但是仅用技术作图观察我们很难发现这种坐标间的数量变化．同学乙的方案是虽然也是从特殊到一般的研究方法，但可贵之处在于通过图象、数据表格的联系，最终发现了图象变换间的坐标关系，我们可以运用图6、图7而达到验证的目的．同学丙的方案是从抽象函数的角度入手，具有一般性的特点，但难度比较大．而这种由一般到特殊的的思维过程又是通过在“特殊到一般”的思维过程中发生、发现而形成的，这种思考方法值得我们认真学习．同学丁的思考方法是基于对图形的变换的考察是着眼于对某些特殊点的坐标变化过程的分析、思考、发现，这是一种很普遍的数学思考问题的方法.
就这样，曾经以为很快就可以解决问题的一堂课在学生运用信息技术的积极参与下内容和方法变得丰富多彩、内涵深刻．在课堂练习中，我又把那道曾经让我产生失败感的那道数学题拿了出来，学生在经历了丰富的、高水平的思维过程后，结果有80%的学生得到正确的结果，让我感到很振奋.