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小学数学鸡兔同笼问题中渗透的一题多解思想

发表时间：2021/5/19 来源：《中小学教育》2021年7月2期作者：司玉红

[导读] 好奇心是促进人自身成长的关键动力，也是促成学生学习兴趣的关键因素，使同学们在学习过程中劳累并快乐着，好奇心促使同学们在学习中大胆的去探索，去尝试错误，纠正错误，使他们在学习中获得了更好的解决问题的方法，拥有了好奇心就拥有了一笔巨大的精神财富，就拥有了一把金钥匙。

司玉红甘肃省陇南市武都区桔柑九年制学校
【摘要】好奇心是促进人自身成长的关键动力，也是促成学生学习兴趣的关键因素，使同学们在学习过程中劳累并快乐着，好奇心促使同学们在学习中大胆的去探索，去尝试错误，纠正错误，使他们在学习中获得了更好的解决问题的方法，拥有了好奇心就拥有了一笔巨大的精神财富，就拥有了一把金钥匙。
【关键词】小学数学；趣味性；解题方法；列表法；简表法；假设法；减半法；倍数法；特殊法
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）07-024-02

        小学年龄阶段的孩子都充满了童真和好奇心，拥有适度的好奇心是孩子们撬开和认知这个神秘世界的不可缺少的一把“万能钥匙”，在小学数学课本中就特别的开出了激发学生好奇心的菜单——数学广角，在这些章节中，安排的例题和习题极具趣味性，激发了小学生去探索未知数学世界的勇气，鼓舞他们在乐学中健康成长。
        暑假期间上七年级的大侄女和上小学四年级的小侄女在讨论鸡兔同笼趣味练习题，题目是：鸡兔同笼，共有17个头，42条腿，笼中有鸡多少只？有兔多少只？大侄女先发言了，这要用方程来解决，她开始拿笔列方程了，但小侄女思考了几秒钟之后，得意的给出了答案：13只鸡，4只兔。这也太快了吧，跟大侄女用半分钟解方程得出的答案是一样的，大侄女有些尴尬。这让我想到“小学生学问大”这句话的合理性。
        通过笔者下面的举例，相信大家都将修炼成解决此类问题的高手。
        以人教版四年级数学下册教材“鸡兔同笼”问题浅析解题方法。（后续都以上题为例——前提是鸡和兔必须是健康的）
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        一、列表法（穷举法）：
        解题思路：整合统计思想，穷举所有可能。
        由上表可知：鸡有13只，兔有4只。
        优点：解题过程一目了然，思维跨度小，易于理解。缺点：数据太多，费时费力。
        二、简表法（一半砍）：
        解题思路：先确定鸡多还是兔多，来确定谁占多一半数量。
        假设全是鸡：腿数＝17×2＝34（条），比实际少：42－34＝8（条）
        假设全是兔：腿数＝17×4＝68（条），比实际多：68－42＝26（条）
        假设全是鸡，与实际只差了8条腿，更接近真实情况，由此可以判断，鸡超过多一半数量。画简表如下：
        在上表中，只用简单几列就得出了答案，简单易懂，此方法是列表法的精简版。
        优点：比穷举法至少节省一半的工作量。
        三、假设法（极端法）
        解题思路：假设没有兔（或者没有鸡），得到的数据一定与实际数据有差异，弄清楚为什么少了（为什么多了），是解本题的关键。此法与简表法有异曲同工之妙。
        假设1、假设全是鸡（兔换鸡）：
        腿数＝17×2＝34（条），比实际少：42－34＝8（条）。原因：为什么腿比实际少了，因为把4条腿的兔子，看成了只有2条腿的鸡，所以总腿数会减少，把1只兔看成1只鸡总会少2条腿，推导发现，把10只兔看成10只鸡就会少10×2＝20条腿。现在少8条腿，这是由4只（8÷2＝4）兔子引起的，说明兔有4只。
        完整解法：
        假设全是鸡。

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        17×2＝34（条），42－34＝8（条），兔：8÷2=4（只），鸡：17－4＝13（只）
        假设2、假设全是兔（鸡换兔）：
        腿数＝17×4＝68（条），比实际多：68－42＝26（条）。原因：为什么腿比实际多了，因为把2条腿的鸡，看成了4条腿的兔子，总腿数就会增多，把1只鸡看成1只兔子总会多出2条腿，现在多出26条腿，这是由13只（26÷2＝13）鸡引起的，说明鸡有13只。
        完整解法：
        假设全是兔。
        17×4＝68（条），68－42＝26（条），鸡：26÷2＝13（只），兔：17－13＝4（只）。
        优点：定位准确，特点：假设鸡先得兔，假设兔先得鸡。
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        四、减半法（腿半）
        解题思路（从头数考虑）：假设全是鸡。应该有头：42÷2＝21（个），实际有头17个，比实际多出21－17＝4（个）头。原因是把1只兔看成鸡，总会多出1个头（浅灰色框所示），也就是，每多出1个头都是由1只兔子引起的。
        关系式：兔数＝腿数÷2－头数
        如：42÷2＝21（个），兔：21－17=4（只），鸡：17－4＝13（只）。
        五、倍数法（头倍脚半）
        解题思路：鸡数＝头数的2倍减去腿数的一半
        简记口诀：头倍脚半差。
        关系式：鸡数＝头数×2－腿数÷2
        如：鸡兔共12只，腿有34条，鸡兔各几只？
        12×2－34÷2＝7（只），12－7＝5（只）
        答：鸡有7只，兔有5只。
        六、特殊法
        题目1：鸡兔有若干只，腿有44条，鸡兔互换后腿是46条，问：鸡几只？兔几只？
        解题思路：头数＝前后腿数的和再除以6
        关系式：头数＝（腿数1＋腿数2）÷6
        鸡数＝头数×2－腿数1÷2
        （44＋46）÷6＝15（只），15×2－44÷2=8（只），15－8＝7（只）
        答：鸡有8只，兔有7只。
        题目2：某一次测试共有20道题，作对一题得5分，做错一题扣2分，不做不得分，小雪同学做完了所有试题，得了79分，她做错了几道题？
        列简表如下：
        由上表可知每增加一道对题，减少一道错题总分就增加7分（5＋2＝7），本题可由简表法抽象为假设法解答。
        假设20题全做对。应得5×20＝100（分），比实际多100－79＝21（分），因为把错题也当成对题计算了，总分就会增大，每把一道错题看成一道对题，总分就会多出7分，现在多出21分，这是把3（21÷7）道错题当成对题导致的。
        分步解答：5×20＝100（分），100－79＝21（分），21÷（5＋2）＝3（道）
        综合解答：（5×20－79）÷7＝3（道）。
        答：小雪做错了3道题。
        总之，面对同一个问题，小学生有小学生的解决办法，中学生有中学生的解决方案，伴随着知识量的积累，我们解决问题的方法就会更多，只要掌握好方法，小学生也能解决大问题。