新田瑞华实验学校 谢三果
探索性问题涉及内容广泛，其中归纳与猜想是解决探索性问题的一条基本路线。引导学生合理运用“归纳与猜想”寻找问题答案，有利于学生在平素的学习过程中提高兴趣、激发强烈动机，养成自觉探索的习惯；有利于增强学生的创新意识，独立解决问题的能力；有利于学生增加苦中有乐的获得感与不断地巩固自己的信心。本文主要讲述探寻数的变化规律解题的几个方面。
一.算式规律
（一） 一般性数列、代数式规律
1.统计
例1 八（2）班一次数学测试成绩，前30名优秀学生的成绩如下
85 82 93 85 94 98 87 86 90 92
97 86 87 91 99 100 93 87 94 96
82 97 87 88 95 93 89 98 100 95
请求出其总分和平均分。
审题 如果直接将30个数加起来，运算量比较大，粗略估算，这些数都在90分左右，以90分为基准数，大于90分的记为正，小于90分的记为负，考察这30个数与90的差，当然可以简化运算。
解 总分：90×30－5－8＋3－5＋4＋8－3－4＋0＋2＋7－4－3＋1＋9＋10＋3－3＋4＋6－8＋7－3－2＋5＋3－1＋8＋10＋5=2742(分）
平均分：2742÷30=90.8（分）
2.一般性数列
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用含正整数n的等式表示上述规律__________________________.
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感悟：观察等式相应数字的变化趋势，作出判断，重视正负号的变化，作出表达方式，以把握整体，得到合理的猜想。
（二）代数式求和规律
1等差数列求和
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启示如果一列数，从第二项开始，后项减前项的差都相等，那么这列数的求和问题，就可以像上列中“倒写相加”的方法来解决。
2等比数列求和
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启示 如果一列数，从第二项起，每一项与前一项之比都相等，那么这列数的求和问题，就可以用上面“错位相减”法来解决。
（三）几个常用代数式的应用
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启示这是一种拆项解题法。拆项的目的，是使总和中出现一些可以相消的项，从而使问题简单化。
2 平方差公式
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感悟 平方差公式的运用要根据数的话特征分析，有时可能逆用对解决问题更简单方便。
二典型的数阵规律
例9 观察下列数阵表
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第m列
第1行 1 2 3 4 5 … m
第2行 2 3 4 5 6 … m+1
第3行 3 4 5 6 7 … m+2
第4行 4 5 6 7 8 … m+3
第5行 5 6 7 8 9 … m+4
… … … … … … … …
第n行 n n+1 n+2 n+3 n+4 … …
根据表中所反映的规律，第99行101列交叉点上的数应为_____________;第m列n列（m、n都是正整数）交叉点上的数是_________________。
审题 从第1列看出，第n行的第1列数是n，该项后面的每一个数比前面一个数大1，所以，第m个数应为（n+m-1)，故第99行101列交叉点上的数为199。
例10 观察下列数阵表
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 …
第1行 1 2 4 7 11 16 …
第2行 2 3 5 8 12 17 …
第3行 4 5 7 10 14 19 …
第4行 7 8 10 13 17 22 …
第5行 11 12 14 17 21 26 …
第6行 16 17 19 22 26 31 …
… … … … … … … …
求第七行第七列交叉点上的数；
（1）求第n行第m列交叉点上的数（m、n是正整数）。
解观察第一列，第二行第一个数比第一行第一个数大1，第三行的第一个数比第二行的第一个数大2，第四行的第一个数比第三行的第一个数大3，…依次类推，第n行的第一个数比第（n-1)的第一个数大（n-1)，猜想，第n行的第一个数是：
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。
在同一行中，第二列的数比第一列的数大1，第三列的数比第二列大2，第四列的数比第三列的数大3，…，依次类推，第m列的数比第（m-1)列的数大（m-1)，因此，第n行的第m列交叉点上的数是：
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这样有，
（1）令n=7,m=7，
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即第7行第7列交叉点上的数是43。
（2）第n行第m列交叉点上的数是.png)
例11 观察下列数阵表
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在上述数字中添“+”或“-”号，依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
审题
（1）已知若干个整数和的奇偶性，取决于奇数个数的奇偶性，所以在上述数阵中的81个数字前任意添加“+”或“-”号，不会改变和的奇偶性，显然，上述81个数字有41个奇数，所以，添加“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数。
（2）自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加“+”或“-”（n为自然数）。这告诉我们将1，2，3，…，80‘81第连续四个自然数为一组，再按上面规则添加符号，即
因此，所求最小非负数是1。
感悟 本例中的组合是为了造出一系列的“零”，从而使问题简化。