席彦青
北京市陈经纶中学嘉铭分校 100101
【摘要】二次函数是初中数学的重要学习内容，二次函数的应用，无论是数学中的应用还是实际问题应用都是学生学习过程中比较集中的难点所在.在近几年的北京中考试卷中，二次函数与已知线段交点问题出现频率非常高，因此也是初三复习阶段的重要专题.解决此类问题，要引导学生充分利用函数图象，多动手画图，从动态角度分析找到变化过程中的临界位置.
【关键词】二次函数；数形结合；临界位置；动态分析
二次函数与已知线段交点问题是近几年中考的热点问题，在教学过程中要循序渐进，引导学生从理解二次函数各项系数意义入手，充分利用函数图象，数形结合解决问题.
一 基于动态视角，理解二次函数各项系数意义
对于二次函数的研究，人教版教材中分为三个部分进行学习.在学完第一个基础内容图象与性质后，又继续学习了二次函数与一元二次方程的关系，并分别从形和数两个角度进行了阐述.最后一部分学习利用二次函数解决实际应用问题，借助数学建模思想从实际问题中抽象出数学问题求解，典型问题有最值问题、建系求表达式等.
在学习过程中我们发现，无论是研究二次函数与已学知识间的联系问题，还是探究二次函数实际应用问题，或者是代数综合问题，都与二次函数的基础知识——各项系数意义紧密联系.本节内容，我们以回顾二次函数各项系数意义为入手点，综合复习二次函数应用部分的内容.
在学习新知的过程中，以及做过的一些练习题目中见过的二次函数图象变化类型，大致包含以下三类：
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图象的平移
顶点式的学习过程中曾多次应用，结合一般式的各项系数进行总结，在图象发生平移时，二次项系数a保持不变，b会发生变化，如果抛物线与y轴交点发生变化，则说明c也发生变化.
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图象的翻折（旋转180°）
当图象发生翻折时，抛物线开口大小不变，开口方向相反，对应的解析式中二次项系数a变为相反数，b变为相反数，c也发生变化.
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“开花”图形
这是由一组开口方向一致大小不同的抛物线组成的“开花”图形，从动态角度观察这组图象，会发现越大抛物线开口越小，在“开花”过程中顶点位置不变，对应的解析式中c不变，b会发生变化.
以上三种变化类型中，平移和翻折过程中，抛物线的形状不变，位置变化，“开花”图形中位置不变，形状变化.
结合以上图形变化规律，可以归纳图象变化与二次函数各项系数之间的对应关系，图形变化包括抛物线的形状变化和位置变化，形状变化主要涉及到解析式中二次项系数a的变化，a的正负决定抛物线开口方向，大小决定抛物线开口大小.位置变化则主要涉及到对称轴的位置和顶点位置.
在解决复杂数学问题时，通常需要综合分析以上几个方面的变化分析，再结合二次函数性质分析解决问题.由此可见，准确把握二次函数各项系数意义，以及图象变化与各项系数之间的对应关系是非常必要的，变化关系可以简单的总结为a定形状，顶点坐标定位置.各项系数意义可以再换个角度，从解决实际问题的过程中进行体会.
二 数形结合，动态分析抛物线与已知线段交点问题
例1 如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4），抛物线的顶点在线段AB上运动，它与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C横坐标的最小值为-3，则点D横坐标的最大值为（ ）
（A）-3 （B）1 （C）5 （D）8
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分析：已知A，B两点坐标，首先确定线段的位置固定，另外，由纵坐标相等可知线段AB所在直线垂直于y轴，又根据抛物线顶点在线段上运动，可知图象进行了平移，那么解题的关键是要在平移过程中找到最值点.描述图象平移的过程可以以A为起点，沿线段AB向右平移，多画一些图象，数形结合理解最值点的含义.
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从平移的动态视角观察能直观地看出抛物线在平移过程中的临界位置就是C，D点最值点所在的位置，这个临界位置就是抛物线顶点经过点A和点B时的位置.
当抛物线经过点A时，C的横坐标取到最小值为 -3，此时对称轴为x=1，C到对称轴的距离为4，由对称性可知，此时D的坐标为（5,0）；当抛物线经过B时，D的横坐标取最大值，此时对称轴为x=4，平移过程中抛物线形状不变，点D到对称轴距离不变，所以此时D的坐标为（8,0），即D的最大值为8.
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解：答案选D.
例2 在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，若抛物线y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
分析：已知直线过点（0,2）且平行于x轴，所以这条直线为y=2，它与直线y=x-1的交点A坐标为（3,2），又因为B与A关于直线x=1对称，得到B（-1,2）.根据得到的信息画出相应的图象.
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线段位置不变，要求未知量的取值范围，就要思考抛物线的动态变化，勤动手多画图，数形结合更直观.
由抛物线与线段有交点的条件，可以确定y=ax2中的a>0，开口方向确定，开口大小不确定，这样的抛物线与线段的交点情况会有几种呢？可以多画一些图象帮助理解.
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通过这组图象可以看到抛物线与线段交点有3种情况，分别有两个交点，一个交点和没有交点，随抛物线开口越大交点越少.从动态角度观察，找到有一个公共点的临界位置.
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临界位置确定A，B为两个临界点，把A，B两个点坐标分别代入解析式中，解得相应的二次项系数a的值为和2，观察交点个数，确定临界点A可取，B不可取，∴
解：由题，过点（0,2）且平行于x轴的直线为y=2
则联立，解得
∴A(3,2)
∵点B与点A关于直线x=1对称
∴B(-1,2)
当抛物线y=ax2（a≠0）经过点A时，
代入,解得 .
当抛物线y=ax2（a≠0）经过点B时，
代入,解得 .
由图可知，当抛物线经过点B时不符合题意，
∴
例3 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-4,0），B（0,4），抛物线的顶点为C，当该抛物线与线段AB恰有一个公共点时，结合函数图象，写出m的取值范围.
分析：已知二次函数一般形式表达式，可求得顶点C的坐标为（-2,1），线段AB两端点坐标已知，综合以上信息可知，线段位置固定不变，但是抛物线的开口方向和大小都不确定，由此判断需要对开口方向
分类讨论解决问题，与线段的交点情况仍需从动态角度画图进行分析.
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要满足抛物线与线段有一个公共点的条件，开口向上时，抛物线开口大小要超过点B所在的位置，开口向下时，抛物线开口大小要超过点A所在的位置，由此找到两种情况下的临界位置.
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分别将A，B两个点坐标代入解析式，求得m值为和-，此外，两个临界点中点A是可取的，点B是不可取的，且m≠0，综上，m的取值范围是或.
解：由题，
①当m>0时，
把（0,4）代入，
解得m=
∴当0<m<时，抛物线与线段AB恰有一个公共点
②当m<0时，
把（-4,0）代入，
解得m=
∴当m<0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点
综上所述，当0<m<或m<0时，抛物线与线段AB只有一个公共点
三 小结
要解决抛物线与已知线段交点问题，需要掌握几个方面的知识，首先是二次函数基础知识，比如一般式与顶点式的转化、对称轴、顶点坐标计算公式等；其次是二次函数各项系数与函数图象的关系；最后是对图象几种变化状态的理解.
在解决问题的过程中，先找到题目中的不变量，再分析变化的量有哪些变化趋势，最后多动手画图确定临界位置，找到临界点求解，这里还需要特别注意临界点是否可取的问题，在解题过程中，数形结合是贯穿始终的重要数学方法和思想.