宋英华
聊城市茌平区实验小学
一、案例与反思
最近有这么几节课，总闪现在脑海里，课中部分环节学生数学思考的开发取向，引起了我的关注和反思，现逐一回顾如下：
案例一： 《角的认识》人教版四年级上册
片段1：
在学生回顾直线、线段的特点，并对射线有了一定的认识后，教师为引入角，巧妙地设计了如下环节：
师：同学们，请你们猜想一下，从一点出发，画两条射线，会得到什么图形？再试着把你的猜想在练习本上展示出来。
生1：我猜得到一条射线，我是这样画的：从一点出发，先画一条射线，然后再从这点向同一方向再画一条射线，它们重合了，所以我得到一条射线。
师：你的猜想和验证都非常有价值，这样看起来确实还是一条射线，我非常佩服你能清楚的说出你操作的过程，谁还有不同的发现？
生2:我得到了一个角，我是从一点向不同的方向画了两条射线。（锐角）
生3：我得到一个直角。
生4，我得到一个裂开的脚。（钝角）
师：喔，是个张口大的脚。
生5：我得到一个这样的角。（优角）
生6：我得到的是一条直线，我从一点出发先画一条射线，再从这点向反方向再画一条射线，就成一条直线了。
…………
反思：角在二年级上册已经初步认识了，这里要进一步了解角的组成，突出射线与角的关系，以往的教学通常是教师直接引出“从一点出发向不同方向画两条射线就组成一个角”，随之演示角的图形（一般是锐角），这样就如蜻蜓点水一样一闪而过，学生对射线与角的联系很模糊，本节教师的精心设计，一改原来学生接受学习的教学方式，让学生去探索、去领悟。从教学效果看，学生不仅了解了角的组成，还在探索中得到了各种形态的角。为角的分类做好了知识的铺垫。正因为教师有意识搭建思考的平台，学生才有了有效的数学思考，他们经历了猜想、验证的数学活动过程，在探索中他们大胆创新，发展自己的空间观念和想象力;在交流中，他们有条理清晰的阐述自己的观点，倾听他人的观点，达到了思维共享和互补的目的。
片段2:
课将结束,教师为引出角的度量，预设这样一个情境，电脑出示两个差不多大的角，仅凭学生的肉眼也不能判断谁大谁小，用对着光比一比的方法也不能把两角对在一起，面对老师的“为难”，学生小组讨论后，思维反馈如下：
生1：我们小组的方法是可以做一个与图1相同的活动角，再拿活动角与图2比，就可知谁大谁小了。（多巧妙的代换方法）
生2,：我是这样想的，可以在两图上都从顶点出发，截取相同的一段，然后比张开处线段的大小（长短）。张口线段长的对的角就大。（真棒！初中的圆心角所对的弦越长，圆心角越大，都在这里出现了。教师没预设到这种方法）
生3：…………
反思：且不管教师如何处理这两种思路引出角的度量，单就教师预设的情境，让学生有如此的非预设生成，也确实让老师们反思，从两组学生的方法中，我们看到了他们在经历观察、分析、比较、合作等一系列的探索活动中，逐步找到了比较的策略，这里学生的积极性得到了充分的发展，他们主动探索着、思考着。这样的学习是有生命力的。是的，只要给学生创造空间，他们的潜力是不可估量的，如果没有空间，学生的思维就不可能得到发展。
案例二：《我换牙了》—统计 青岛版一年级上册
片段1：课中，教师让学生分组收集本组换牙情况数据，并以喜欢的方式在表格中呈现出来，学生汇报交流后，教师又提议统计全班换牙的情况，这时教师这样设计：
（1）师让6个小组的组长交上换牙统计表。
（2）师读第1组换牙数据，让生在统计图上涂色。
（3）师读第2组换牙数据，让生在上面的统计图上继续涂色。
（4）师读第3组换牙数据，让生在上面的统计图上接着涂色。
（5）…………
6个小组的数据，6次的涂色，学生手忙脚乱，10分钟后，终于完成了，学生累计涂色得到的数据有的还有偏差。
反思：在这个教学环节中第2次统计的目的，学生全然不知，他们完全按教师的指令支配着，无任何的个人思维，试问，这样的经历怎么能促进学生进行思考？如果本环节教师让学生收集好本小组的换牙数据，先制成表格，再放手让学生合作探讨全班的换牙数据，他们肯定会主动思考，展示自己的思路，如（1）重新用举手法收集数据（2） 把统计好的6个小组的换1颗2颗3颗……等等的数据加起来，（3）6组数据，6次涂色（4）……这样，学生在思考交流中，都会寻找自己的方法、策略，即使用和老师同样的第3种方法，因为是自己选择的，他们也会知道统计的目的，也会为自己的方法欣喜，这样他们的思维才会得到发展，他们才会有机会学会思考，学会选择，创新才会悄悄走进新课堂。
片段2，在制成全班换牙情况统计表后，教师如此设计以下环节：师：咱班某某同学今天没来上课，同学们猜猜他掉了几颗牙？
生1：他没掉牙，我天天和他在一起，没看到它换牙。（用事实说话）
生2：他可能换牙了，我猜他换了两颗。
师：你为什么猜他换了两颗，有依据吗？
生2：我是猜的。
生3：我猜他换了4颗牙，因为从刚才的统计表中看，咱班换4颗牙的最多，我就猜他也换了4颗牙（了不起，进行了简单的推理）
师：你能有理有据的进行推测，真能干，某某同学到底换没换牙，我们还需要明天验证一下，问问他自己好吗？
…………
反思：猜测缺勤同学的换牙情况，教师的设计别具匠心，既体现了统计对象的完整性，又给学生提供了广阔的思维空间，他们有的用事实说话，有的根据统计的结果进行合理的推理，一年级的孩子有这样的思考真是难得！特别是生3的发言，他的推理经历了用数据描述信息，再进行推断的过程，试想，经过这样的探究活动，统计的观念何以不发展？学生的思考何以不提高？
案例三 ： 《倍的认识》 青岛版二年级上册
在巩固练习阶段，教师设计这样的思考:
(1)在第1行摆2个圆片，第2行摆8个圆片，第2行的圆片数是第1行的几倍？（4倍）
(2)在第1行摆4个圆片，第2行摆8个圆片，第2行的圆片数是第1行的几倍？（2倍）
(3) 为什么在第2行都是摆8个圆片，而得出的倍数关系会变呢？（有的以2个为一份，有的以4个为一份，尽管第2行8个圆片没变，但一份的数变了，倍数关系也就变了）
…………
反思：如果教师的思考只放在了层次（1）（2）上，学生的思维将只限于知识的层面，有了层次（3）的思考，学生的思维才会上升到了一个更高的层次。尽管层次（3）学生当时的回答并不全面，但至少学生会体会到第1个数是变化的，第2个数是不变的，这样什么变什么不变的函数思考方法从这里就得以渗透。
案例四 ：《用数对确定位置》 青岛版五年级下册
教师引导学生从队列图到点子图认识行和列之后，提炼出行和列组成的数对就能来确定位置，为了出现网络图，教师设计了这样的情境。
师：老师这儿有一个点（黑板面上任意一个点），你能描述它的位置吗？
生1：不能，它没有参考物啊？
生2：能，我们只要创造出列和行，就能用数对描述它的位置了。
师：是这样吗？老师给大家一张纸，大家给上面的A点确定位置。
…………
学生的思维一下子被打开，点子图的，网络图的，点在第一象限的，第二象限的，第三象限的，第四象限的都有。尽管表达不十分规范，但课堂精彩无限。
反思：教师开放式的设计给数对确定位置增加了维度，学生想到了第一单元负数也可以表示数对，这样就有了其他三个象限的位置，平面直角坐标系知识从这里就得以渗透。
二、分析
《国家数学课程标准》对课程目标“数学思考”的具体描述是：●经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
●丰富现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
●经历运用数据描述信息，作出推断的过程，发展统计观念。
●经历观察，实验猜想，证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
可见，课标已把发展学生的数感，符号感，空间观念，统计观念，当作数学思考的有效载体，以上几个数学案例，各位老师都在努力尝试着，有凭借载体对“数学思考”的精心预设，也有意外的非预设生成，还有为了让学生经历某个过程缺少思考的探究误区，但在每节课中，都透着浓浓的课改信息，老师们的观念确实变了，他们已不把学生当作灌输知识的容器，而是把发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念等作为数学思考的具体任务，引导学生主动去探究，学生在探索思考过程中，逐步学会开发自己的思维；在交流合作中逐步学会梳理、完善、提高自己的思维。所以我认为学生的数学思考活动也是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，教师需要有意识的去开发学生的思考资源，有意识的去训练他们良好的思维习惯。
三、启示
在浸润的数学课堂中，数学思考解决问题和形成能力是相辅相成的，如何引导学生进行有效的有效的数学思考，我认为必须做到三点：首先，教师要依据课标，精心创设有思考价值的问题情境，引领学生积极主动的去思考和创新。如《角的认识》案例中，片段一的问题情境和《我换牙了》案例中片段2的问题情境的创设。需注意创设情境时，不仅要设计知识层面的思考，还要加强对知识深化层面的开发。其次，教师要善于把握时机，对学生出现的良好思维倾向，及时加以引导，提升，让学生个性思考的火花，点亮课堂，激励课堂，实现互动思考，进行有效教学。如：《角的认识》片段二的教学，最后，教师要高瞻远瞩，把当今思考与未来知识有效联姻，经常有意识的渗透未来知识层面的思考，这样才会逐步实现学生人生的垂直思维，如：《角的认识》片段1的教学和《倍的认识》《用数对确定位置》的教学.
老师们，让我们以课标为导向，给孩子们创造更多的思考平台，引导学生在思考中学会思考，在思考中学会创新，实现孩子终生全面、持续、和谐的发展吧，这是我们共同的心愿。