陈蜜
（浙江省宁波市海曙区古林镇中学）
摘要：问题是数学的心脏，好的问题可以激发学生思维的活跃度和促进其思维的发展。同样的，自然合理的教学设计可以启发学生深层次的思考，起到事半功倍的效果。笔者在对“全等三角形的复习”这节初二复习课的打磨中，经历了从习题课到探究课再到模型构建课的历程。事实证明，真正能夯实基础，并为后续提高学生数学学习能力的课堂教学，一定是基于数学核心素养形成和发展的教学。
关键词：教学设计；一线三等角；模型
初冬时节，笔者有幸受邀于12月初赴金华送教，此次去送教的学校是位于金华市婺城区的蒋堂初中，这是一所农村初中，生源有一半是外来务工子弟。鉴于学生的实际情况，笔者选择了全等三角形这一初中几何学习的重要基础知识作为复习课的教学内容。
最初在设计这节课的时候，笔者试图在全等三角形里找到一个基本模型，首先介绍这个模型的基本构成，然后把这个模型加以变换，形成不同的图形，在不同图形中应用全等三角形的性质以及判定来解决相关问题。课堂以如下问题引入：将一个长方形纸片沿着对角线BD剪开，将△ABE绕着点B顺时针旋转至点A，B ，C在同一直线上。请你想一想BE与BD之间有什么关系? 在提出该问题的同时引导学生既要考虑数量关系也要考虑位置关系。
接下来给学生出示了一道开放型问题，如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD。该问题的设置意图在于帮助学生复习全等三角形的各个判定定理。
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（1）
然后在上题基础上进一步提问，若连接点E和点D,则
(1)如图（1），已知：∠EBD＝90°，EB=BD， ∠A=∠C=90°, 证明:AC=AE+CD.
(2)如图（2），将(1)中的条件改为：BE=BD，A、B、C三点都在同一条直线上,并且有∠A=∠C=∠EBD=a ,其中a 为任意锐角或钝角.请问结论AC=AE+CD是否成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图（3），若将（1）中A,B,C三点所在的直线旋转到如图的位置时，BE=BD ， ∠EBD＝90° EA⊥ BC,DC ⊥ BC，试问：AC,AE,CD有怎样的等量关系。请写出这个等量关系，并加以证明。
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（2） （3）
在这三个问题的解决基础上，再引导学生找到这几个图形的联系，进而提出一线三等角这个基本模型，让学生体会模型思想的运用。
最后将其中一张三角形纸片平移成如图形式，使点B,F,C,D在同一条直线上。
（1）求证：AB ⊥ ED.
（2）若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。
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试教后，我校数学组前来指导的老师指出，目标虽然很明确，由始至终都是在运用全等三角形的知识点，但是这样的问题对优秀的学生来说并没有得到什么提高，对他们而言只是简单的重复，教学内容需要重新定位。
于是第二次，我将这节课的结构进行了大的改动，设计如下。
一、模型初探
已知△BDE是等腰直角三角形，过直角顶点B作直线L,请添加适当的辅助线，构造一对全等三角形。
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（1）已知△BDE是等腰直角三角形，直线L经过直角顶点B且在三角形外部，请添加适当的辅助线(不经过点B)，构造一对全等三角形。
（2）已知△BDE是等腰三角形，过直角顶点B作直线L，L经过三角形的内部且不与斜边上的高所在的直线重合，请添加适当的辅助线(不经过点B) ，构造一对全等三角形。
二、模型再探
已知△BDE是等腰三角形，过顶角顶点B作直线L, 请添加适当的辅助线，构造一对全等三角形。
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（1）已知△BDE是等腰三角形，∠EBD=a ,其中a 为任意锐角或钝角，直线L经过直角顶点B且在三角形外部，请添加适当的辅助线(不经过点B) ，构造一对全等三角形。
（2）已知△BDE是等腰三角形，∠EBD=a ,其中a 为任意锐角或钝角，过顶角顶点B作直线L，直线L经过三角形的内部且不与底边上的高所在的直线重合请添加适当的辅助线(不经过点B) ，构造一对全等三角形。
经过几次试教和调整之后，我把自己在试教过程中的疑惑和困难与浙江省特级老师邬云德做了交流。邬老师提出，复习课最容易走向一个误区，教学内容就是题目的简单堆砌，看似课堂效率很高，实际上收效甚微。我的设计就有目标不够明确，指向不够明朗之嫌。
在邬老师的建议下，课堂引入进行了调整。邬老师听完这节课的试教后认为，形式有了，比如课堂的几个步骤，从模型初探到模型再探到模型应用再到模型拓展，最后到总结反思。又比如课堂上有两次让学生小组讨论的环节。但是应用中对这个模型的作用体现得并不明显或者说这个问题用一线三等角并不是最简单有效的方法。而且学生对于怎样的情况下要用这个模型，或者怎么添加辅助线来解决这个问题还是很模糊。如果这样，那么这节课就并没有达到教学要求，也没有提高学生的能力，所以还要进行修改。
在邬老师的亲自指导下，这节课又有了新的面貌，在送教时拉开了帷幕，最终得以顺利展示。现将这节课的教学设计记录如下。
【教学目标】
1、能通过直观想象，找出两个三角形的对应边与对应角。
2、会用全等三角形的判定与性质，证明两条线段或两个角相等。
3、能感悟解决问题之后反思的意义，能积淀研究几何命题的经验。
4、能发展直观想象素养、逻辑推理素养及语言表达能力等。
【教学重点】
全等三角形的基本模型之一一线三等角
【教学难点】
全等三角形的基本模型之一一线三等角
【教学过程】
一、课前预习
已知△BDE是等腰直角三角形，过直角顶点B作直线l,并过E、D作直线l的垂线段EA、DC,垂足为A、C。
(1)画图：请你根据上面的语句画出图形。
(2)探索：找出图形中的全等三角形。
(3)证明：请你判断线段AC、EA、DC之间的数量关系并证明。
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二、探究
（1）已知△BDE是等腰直角三角形，直线l经过直角顶点B
且在三角形外部。
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注：过点E和点D分别做直线L的垂线段，△ABE与△CDB全等。
（2）已知△BDE是等腰三角形，过直角顶点B作直线l，l经过三角形的内部且不与斜边上的高所在的直线重合。
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注：过点E和点D分别做直线L的垂线段，△BEF与△BND全等。
三、反思
已知△BDE是等腰三角形，过顶角顶点B作直线l,并过E、D作线段EA、DC与直线l相交于点A、C。
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（1）已知△BDE是等腰三角形，顶角∠EBD=a ,其中a 为任意锐角或钝角，直线L经过直角顶点B且在三角形外部，并过E、D作线段EA、DC与直线l相交于点A、C 。
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注：过点E和点D分别做线段与直线L相交，△ABE与△CDB全等。
（2）已知△BDE是等腰三角形，顶角∠EBD=a ,a为任意锐角或钝角，直线l经过三角形的内部且不与底边上的高所在的直线重合,作∠EAF= ∠DCF=a。
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注：过点E和点D分别做线段与直线L相交，△BEF与△DBN全等。
四、应用
（1）已知直线l1//l2//l3//l4,且l1与l2相距1个单位长度，l2与l3相距2个单位长度，l3与l4相距1个单位长度，正方形ABCD的顶点分别落在这4条直线上，求正方形的边长。
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注：在形内或形外构造一对全等三角形，从而运用一线三等角模型的构造将已知和未知联系起来。
五、总结反思
1.同学们想说的话。
2.老师想说的话：
（1）一个基本模型：一线三等角
(2)两个思想：模型，从特殊到一般
(3)三个性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应特殊线段相等
(4)四个判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS
【设计意图】感悟“一线三等角模型”的价值，积累研究几何命题的经验，培养观察能力、提出问题的能力和敢想、敢说的良好个性，发展直观想象素养、逻辑推理素养。感悟研究几何命题的思路：减少命题的条件，命题是否成立？替换命题的条件，命题是否成立？变换图形中某些要素，命题是否成立？命题的逆命题是否成立？……
对比这节课在磨课过程中经历的三次变化，笔者有一个很深刻的体会是，当一节课的目的从做几道习题出发到掌握几个知识点到发展学生思维并体会数学学习的魅力所在时，这节课就已经成功了一半。好的开端是成功的基础，千万不能认为数学课就是解题课，把数学课尤其是复习课上成习题课。
之所以会造成这样的情况，正是因为教师的教学目的产生了偏差。比如笔者在设计这节全等三角形的复习课时，最初头脑中呈现的只是要解决一些利用全等三角形的性质和判定的问题，问题的设置从易到难，最好问题之间有一定的关联。只要学生能解决这些问题，那么这节课的教学目标就达成了，学生也有了解题的经验，似乎皆大欢喜了。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.