郭长虹
黑龙江省巴彦县第四中学
等腰三角形的组合图形----共顶三等腰，常出现在中考命题中，故专题探究此类几何模型。
一、共顶点三等腰是指有公共顶点且任意两个三角形都有一个公共腰的三角形，如图1，以公共顶点A引三条相等的线段AB、AC、AD，如果把非公共端点两两相连，可以得到三个等腰三角形，且每两个等腰三角形都有一条公共腰，
二、共顶点三等腰有两种形式，一种是点A在△BCD的外部，另一种是点A在△BCD的内部，如图2，AB=AC=AD，则△ABC、△ACD，△ABD为共顶三等腰。
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三、共顶三等腰的性质：对于任意两个三角形，非公腰的夹角等于底夹角的二倍，图1中，AB=AC=AD，导角可证∠BAC=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，特别地，当AC为公共腰时，两腰夹角为∠BAD，结论：∠BCD=180°-∠BAD或∠BAD=2∠DCE，也可把图2看做飞镖型，图3同图1，但在证明三等腰逆命题时区别图1，但图3中结论仍然成立。
图2中，腰夹角等于2倍底夹角，即当AB=AC=AD时，可证∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∠BAD=2∠BCD。（以上结论导角均可完成，简记为：双等腰产生二倍角）。
四、三等腰逆命题的证明
（一）一点连三线时有两条线段相等且三线中两线的夹角等于三条线段的末端围成的三角形中某个特定角的二倍，则此图为一点连三等线段，这样每种图形要分三次证明（以图4为例）
1、已知：当AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AC=AD
证明：设∠BAC=2α，∠CBD=β，则∠CAD=2β，则∠ABC=∠ACD=90°-α，∠ABD=90°-α-β，在△ABD中，∠ADB=90°-α-β，∴AB=AD，∴AB=AC=AD，当AB=AC，∠BAD=2∠DCK，（或者∠BCD+ =180°）∠DCK=α+β，∠ACB=90°-α，∠ACD=90°-β，在△ACD中，∠ADC=90°-β，∴AB=AC=AD.
2、当AB=AC，∠BAC=2∠BDC时，不可以导角，需构形
九年级方法：作∠BAC的平分线，四边形AKCD四点共圆，△ABK≌△ACK，∴∠ABD=∠ACK= ∠ADB，∴AB=AD，∴AB=AC=AD。
八年级方法：二倍角构等腰△BDR，连接AR，则∠DRQ=2α，四边形ABRC满足角分互补型，可证RA平分∠BRD，∴△ABR≌△ARD（SAS）∴AD=AB，∴AB=AC=AD。
如图在图3中作此证明，需构等腰三角形CKD，则∠BKC=2α，八字导角易得∠ABK=∠ACD，过点A作AM⊥BD于M，过点A作AN⊥CK于N，易得△ABM≌△ACN（AAS），∴AM=AN，∴△AMK≌△ANK（HL），∴∠AKM=∠AKN，∴∠AKC=∠AKD，∴△AKC≌△AKD（SAS），∴AC=AD，∴AB=AC=AD，
3、特别地，当AB=AD，∠BAD=2∠DCE时，①构造等腰△BCK，∠BKD=180°-2α，又∠BAD=2α，②四边形ABKD满足角分互补型，作双垂可证KA平分∠BKD，③△ABK≌△ACK（SAS），∴AB=AC，∴AB=AD=AC.
4、当AB=AD，∠CAD=2∠CBD时
在△ACD中，设∠CAD=2α，∠BAC=2β，∠ACD=∠ADC=90°-α，∠CBD=α，∠ABD=∠ADB=90°-β-α，∴∠ABC=90°-β，在△ABC中，∠ACB=90°-β，∴AB=AC，∴AB=AC=AD。
当AC=AD时，证法同上如图3构造角分钓等腰（也可以叫双垂线手拉手全等）。
总结：1、以上为三等腰推二倍角以及由单等腰+二倍角推三等腰的各种情况的证明（仅就图1中）尤为注意的是在逆命题的证明中如果二倍角其中一个为等腰三角形的顶角时只能构造，不可以导角，而非顶角的二倍角+单等腰均可通过导角证明三等腰。
2、在三等腰模型（图2）中，单等腰+二倍角推三等腰。
①当二倍角为非两腰夹角时，导角仍可证。
如图9，已知∠AOB=2∠ACB，OB=OC,
求证：OB=OC=OA
(设顶角得底角，差顶角，绝配角)
②当二倍角为相等两腰的夹角时“必构”，先构等腰再钓等腰
已知：如图10，在△ABC中，OB=OC，∠BOC=2∠BAC，
求证：OA=OC
证明：①构等腰△KAC，KA=KC，则∠BKC=2α=∠BOC，八字导角∠KBO=∠KCO
②△OMB≌△ONC（AAS）
③△KOM≌△KON，∴∠MKO=∠NKO，∴△AOK≌△COK（SAS）∴OA=OC.
3、对于不能够通过导角来证明的所有逆命题（图2）可以用以下通法证明。
第一步：作待证等腰三角形底边上的高，把问题转化为三定一动；
第二步：通过构造旋转全等解决问题。
如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，
求证：AB=AD
证明：设∠BAC=2α，则∠ABC=∠ACB=90°-α，∠BDC=α，过点A作AE⊥BD交DC的延长线于点E，则∠AED=90°-α，在射线ED上截取一点F，使∠BAF=2α，则AE=AF，△ABE≌△ACF（SAS），∴∠AEB=∠F=∠AED=90°-α，∴BE=CF，又BE=ED，∴ED=CF，∴CE=FD，∴AC=AD(等腰对称性)，∴AB=AD。
五、双二倍角推三等腰的证明研究
如图∠2=2∠1，∠3=2∠4，
求证：AB=AC=AD
证明：作∠BAC的角平分线交BD于E，连接EC，∠EAC=∠EDC，∴四边形AECD四点共圆，∴∠3= ∠5,易证∠4=∠6,∴△AEB≌△AEC（SSA）（作双垂构两次全等）∴AB=AC，∠ABD=∠ACE，又∠ACE=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴AB=AC=AD
在奔驰型中，双二倍角可证双等腰
九年级可构造旋转相似，导角全等可证（过程略）。
在八年级如证明此结论需先看一个引例
已知：在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，如果∠BAC=∠BDC，求证：∠CAD=∠CBD
证明：构△BCD外心，旋转全等，△BOF≌△GOC≌△AFO，导角得∠DBC=∠CAD。
已知：在△ABC中，O为△ABC内一点，∠BOC=2∠BAC，∠AOC=2∠ABC，求证：OA=OB=OC
简证：延长AO到点P，使OP=OC，连接PC，过点O作PC的垂线与BP延长线交于点M，连接CM，△MPO≌△MCO，四边形BMCO满足角分互补，∴OB=OC，同理可得OC=OA=OB。
六、 共顶三等腰以及逆命题历来也是各位同仁及数学爱好者经常讨论的题目，特别是它的逆命题本身具有一定的难度，当然由共顶三等腰及逆命题衍生出来的一系列各种变式问题也很多，由于本人水平有限不妥之处还请各位数学爱好者批评指正， 我们共同进步与提高。