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意料之外，情理之中：几个有趣的概率问题

发表时间：2021/5/26 来源：《教育学文摘》2021年第5期作者：姜泉洋

[导读] 以下几个几个问题是本人最近在教学中用过的例子

        姜泉洋
        宁波鄞州高级中学浙江宁波   315194
        以下几个几个问题是本人最近在教学中用过的例子。
        例1：体育比赛中，要胜过力量相当的对手，4次中胜3次的可能性大，还是8次中胜5次的可能性大？

        　很意外，是吗？
        例5：上世纪90年代初，美国流行这样一个智力题。
        有三扇门，标号分别为 A B C，在门后随机的放上一辆汽车和两只羊。让你猜一次，猜中汽车你可以开走汽车，否则去超市买点草来喂羊。
你想得到汽车吗?
    现在假定你猜（A）号门后就是汽车，此时主持人走到（B）号门和（C）号门后面把是羊的一扇门打开，不妨假设是（B）号门，并问你：你现在有一次机会，你是坚持选（A）门，还是改选（C）号门？
        分析：看起来改不改都一样，真的如此吗？
        解：应该改选（C）号门。原因如下：原来三个门等概率，都为 1/3，主持人打开 B号门后，A 号门的概率没有变，仍为 1/3，现在只有两个门可供选择，那么 C 门的概率就是 1 － 1/3 = 2/3。所以改选 C 门的概率要大。
        这或许有点难以理解，如果是这样的话，不妨把原问题与以下两个问题进行比较。
        问题一、原问题是先猜A号门然后再打开B号门，如若先打开B号门然后再猜A号门问题一样吗？——显然是不一样的。
        问题二、假如把此题条件改成 100 扇门，一辆汽车和 99 个羊，那么假如你开始选定第 1 号门，接着主持人绕到门后，把 98 扇有羊的门打开，不妨设设为第 3 － 100 号门，然后问你是坚持选 1 号门呢，还是改选 2 号门？——这时你非选 2 号门不可。因为这时候 2 号门的概率是 99/100。其实主持人不停的为你打开有羊的门，是给你提供了很多信息，增加了其它门的概率（除了你开始选择的那扇门）。
        数学来源于生活，反过来又服务于生活。概率问题研究的是不确定性，它会指导我们事先如何去做才能获得最多的机会；当然，有时在实际问题中你按最大的概率去做反而失败了，
按概率较小的去做反而成功了，这种情况确实也会出现，但我们要坚信：“强者运强”！