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摘要：鲸鱼算法（WOA）是近几年提出的一种新的智能优化算法，拥有寻优能力强、收敛速度快等特点。但是，算法在迭代后期易陷入局部最优解。针对这种情况，本文提出一种基于激励策略改进的鲸鱼算法（MWOA）。运用基于指数函数的收敛因子平衡算法开发和探索能力；引入一个参数m，若连续m次未更新最优解位置，则启用激励策略跳出局部最优；对WOA中的随机搜索策略进行自适应变异。本文利用改进的鲸鱼算法求解了参数优化问题，结果表明，MWOA在求解精度和收敛速度等方面更优。
关键词：鲸鱼优化算法；激励策略；指数函数；自适应变异
1 引言
2016年，Mirjalili等人提出一种新的群智能优化算法——鲸鱼优化算法[1]，它通过模拟座头鲸群体狩猎方式实现优化搜索目的。与其他优化算法相比，WOA具有原理简单、设置参数少、寻优能力强等特点。目前，WOA已成功运用于工程设计、机组组合等问题。然而，WOA仍存在一些不足，比如全局探索和局部开发难以协调、迭代后期容易早熟收敛等问题。为了解决这些问题，Long等提出了基于逻辑模型的转换参数和折射学习策略解决高维数值优化问题（RLWOA）[4]；孔芝等提出了自适应调整权重和策略以平衡算法全局搜索和局部搜索能力[5]。以上改进在一定程度上解决了WOA的不足。
本文提出一种激励策略，在算法迭代过程陷入停滞（即局部最优解）时，激励所有个体在周围小范围寻优，再从中选取最优个体来跳出局部最优，并运用基于指数函数的非线性收敛因子和引入自适应变异以平衡算法开发和探索能力。最后通过求解非线性能量阱中的参数优化问题来证明MWOA的优越性。
2 鲸鱼优化算法
鲸鱼优化算法（WOA）模拟座头鲸独特的泡泡网捕食行为建立数学模型，分别为：收缩包围、螺旋更新、随机游走三种策略。其中，收缩包围策略和螺旋更新策略为局部搜索机制，随机游走策略为全局搜索机制。
（1）包围收缩：鲸鱼找到猎物后将其包围，而距离猎物最近的个体则为当前最优解，种群中的其他鲸鱼逐渐游向猎物进行包围，并更新位置。收缩包围策略的数学模型如下：
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（1）
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（2）
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（3）
其中，t为当前迭代次数；
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为鲸鱼个体的位置；
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为最优解位置；a为从2线性减小到0的收敛因子；r为[0，1]之间的随机数；Di为个体与当前最优解之间的距离。
（2）螺旋更新：鲸鱼吐出气泡，以螺旋方式行动攻击猎物，并更新位置，其数学模型如下：
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（4）
其中，
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可表示鲸鱼个体与当前最优解之间的距离；b为定义螺旋形状的常数；l为[-1，1]之间的随机数。在WOA中，为了模拟这两种行为同时进行，选择收缩包围策略和螺旋更新策略的概率分别为50%。
（3）随机游走：鲸鱼在搜索猎物时，进行随机游走，其数学模型如下：
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（5）
其中，
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为当前种群中随机选取的一个个体位置向量；
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为总步长，可表示鲸鱼个体与当前随机个体之间的距离。
综上所述，在WOA中，当系数|A|<1时，进行局部搜索，即依概率选择收缩包围策略或螺旋更新策略，其中选择两种策略的概率相同；当系数|A|>1时，进行全局搜索，即随机游走。
3 改进鲸鱼算法
3.1 基于指数函数的收敛因子
与其他群智能优化算法类似，WOA的关键在于如何利用收敛因子a平衡开发和探索能力。收敛因子a随迭代次数从2线性减小到0，则WOA的开发和探索能力呈线性变化。面对多维或者复杂函数的问题时，WOA需要在前期有更强的全局探索能力，而在后期有更强的局部开发能力。由文献[6]提出的基于指数函数的非线性收敛因子能更好地解决这个问题，本文在此基础上对非线性收敛因子进行改进，更新公式如下：
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（6）
3.2 激励策略
WOA与其他群智能优化算法一样，在算法迭代后期，容易陷入局部最优。对此，本文设计一种激励策略，引入激励参数m。如果领头鲸鱼长期无法带领种群进步，则激励少部分个体（系数为δ）在周围搜索。如果子代的位置差于领头鲸鱼，则参数m减少1；如果子代的位置优于领头鲸鱼，则更换头领，重置参数m。每次种群迭代完之后，比较m和0的大小，如果m小于等于0，则任取种群中除领头鲸鱼外的一部分鲸鱼个体进行范围搜索。本文选取的参数为δ=20%，m=tmax/10。其公式如下：
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（7）
其中，τ1为[-1，1]之间的随机数；bu和bl分别为可行解的上界和下界。
3.3 自适应变异
在随机游走阶段，鲸鱼搜索猎物时因种群多样性变差，导致搜索效率不理想而陷入局部最优。对随机游走的鲸鱼个体进行自适应的非均匀变异操作，其公式如下：
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（8）
其中，τ2为[-1，1]之间的随机数；br为变异算子的取值半径，且随着迭代的增加，变异半径不断增大，使得算法在后期更容易跳出局部最优，其公式如下：
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（9）
4 工程应用
本文采用单自由度摩擦型负刚度NES的参数优化问题来验证MWOA的有效性。将MWOA算法与WOA进行比较。本文对文献[7]的结构设置了优化参数刚度k的范围是4000~7000N/m，步长为15N/m；长度l0的范围是0.07~0.15m，步长为0.003m。最优参数的数学模型为：
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（10）
两种算法分别对各个工况独立运行20次，记录算法的最优值、平均值、标准差、平均迭代次数，种群规模为80，最大迭代次数为100。结果如表3所示。
表1 求解NES参数优化问题的算法对比
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从表1可以看出，在计算时，三种算法均能找到最优解，证明了算法的有效性。MWOA的平均值和标准差都优于其他两种算法，平均迭代次数更少，证明MWOA收敛能力更强，收敛速度更快。
5 结论
为了提高鲸鱼优化算法（WOA）的寻优能力，本文提出了一种激励策略改进鲸鱼优化算法（MWOA）。该算法改进了收敛因子，采用了激励策略和自适应变异操作，提高了算法全局搜索能力和求解精度。通过求解NES参数优化问题，证明了该算法的有效性，并且具备更好的寻优能力和稳定性。
参考文献：
[1]Seyedali Mirjalili，Andrew Lewis.The Whale Optimization Algorithm.2016，95：51-67.
[2]Wen Long，Tiebin Wu，Jianjun Jiao，et al.Refraction-learning-based whale optimization algorithm for high-dimensional problems and parameter estimation of PV model.2020，89
[3]孔芝，杨青峰，赵杰，熊浚钧.基于自适应调整权重和搜索策略的鲸鱼优化算法[J].东北大学学报（自然科学版），2020，41（01）：35-43.
[4]伍铁斌，朱红求，龙文，李勇刚，刘云连.改进的鲸鱼优化算法及其在烧结配料中的应用[J].中南大学学报（自然科学版），2020，51（01）：103-111.
[5]Yangyang Chen，Zhichao Qian，Kai Chen，et al.Seismic performance of a nonlinear energy sink with negative stiffness and sliding friction.2019，26（11）：n/a-n/a.