崔莎莎 李鹏敏
山东省德州市德城区三里庄中心小学
【课前思考】
模型思想就是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。模型思想是“问题解决”的重要形式，是培养学生“用数学解决问题”的重要途径。在 “问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，引导学生在活动过程中理解和掌握有关知识与技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的数学本质，提高学生发现、提出、分析和解决问题的能力，培养学生的创新意识。“鸡兔同笼”是我国民间流传很广的名题之一，也是现代小学数学中一类著名的问题。问题的模型是：“已知鸡兔头数与脚数，求鸡兔各几只？”
【教学目标】
1、使学生了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，掌握用列表法、画图法、假设法、代数法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。
2、通过自主探索，合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，使学生体会解题策略的多样性。渗透化繁为简和建模的思想。
3、使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。
【教学重难点】尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会用假设法解决问题的优越性。理解假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
【教学过程】
一、以史激趣，导入新课
出示《孙子算经》中的数学名题
今有雉兔同笼，上有三十五头
下有九十四足，问雉兔各几何？
“雉”指鸡。翻译成现代文就是：今有鸡兔关在一个笼子里，上有头35个，下有足94只，问鸡和兔各多少? 这就是有名的数学题：鸡兔同笼问题。引导学生说出其中隐藏的信息，兔子有4只脚，鸡有2只脚，请学生猜测鸡和兔各几只？
（学生在猜的过程中是杂乱无序的，而且有很大部分学生猜不出来，因为数比较大，情况比较多，尝试计算也是非常耽误时间的。）
（二）主动探究、合作交流、学习新知。
1、化繁为简
为了方便学生研究这类问题的规律，化繁为简。笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？请学生先独立认真思考几分钟，再以小组为单位展开讨论、交流，看看你们小组该选择什么方法来解决这个问题？再把你们的想法，你的思考过程用你自己的方式记录下来。
2、集体交流、提炼不同的方法
（1） 画图法：
给每只动物先画上2只脚（也就是都看成鸡），这样一共用16只脚，还剩下10只脚。一次增加2只脚，一只鸡就变成了一只兔，要把10只脚补上，就要把5只鸡变成兔。也就是有5只兔，3只鸡。总结：画图的方法非常便于观察、非常容易理解。
（2）列表法：（展示学生所列表格）
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学生说明列表的方法及步骤，说一说从表格中发现了什么？
鸡的数量在减少，兔的数量在增加，每减少1只鸡，增加1只兔，脚的只数就增加2只。用简单的图形代替鸡和兔，8只鸡有16只脚，比已知条件中的26只脚少了10只脚，怎么办呢？我们在不改变鸡和兔总只数的前提下，要增加脚的数量，也就是把鸡变成兔，给一只鸡添上两只脚就变成了1只兔子，也就是减少了1只鸡，增加了1只兔。就这样5次以后就把少的10只脚补全了，最后5只兔子和3只鸡就全了。
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学生说明列表的方法及步骤，说一说从表格中发现了什么？
兔的数量在减少，鸡的数量在增加，每减少1只兔，增加1只鸡，脚的只数就减少2只呢？用简单的图形代替鸡和兔，8只兔有32只脚，比已知条件中的26只脚多了6只脚，怎么办呢？我们在不改变鸡和兔总只数的前提下，要减少脚的数量，也就是要把兔变成鸡，给一只兔减少2只脚就变成了1只鸡，也就是减少了1只兔，增加了1只鸡。就这样3次以后就把多的6只脚减没了，最后3只鸡和5只兔就全了。
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师：同学们的探索精神和方法都很好，都能用自己的方法成功地解决“鸡兔同笼问题”。不过上面的两种方法，老师还是觉得比较麻烦，又是画图，又是列表的，有没有更方便简洁的方法来解决这个问题？
3、假设法
教师引导：观察上面的表格我们发现。如果8只都是鸡，则一共只有16只脚，这样就比26只脚少10只脚，这是因为实际每只兔子比每只鸡多2只脚。一共多了10只脚，于是兔就有：10÷2=5(只),所以我们还可以这样列算式：
板书：方法一：假设8只都是鸡，
8×2=16（只） 26-16=10（只） 4-2=2（只）
兔：10÷2=5（只） 鸡：8-5=3（只）
同样如果8只都是兔，则一共有32只脚，这样就比26只脚多6只脚，这是因为实际每只鸡比每只兔子少2只脚。一共多了6只脚，于是鸡就有6÷2=3(只),所以我们还可以这样列算式：
板书：方法二：假设8只都是兔，
8×4=32（只） 32-26=6（只） 4-2=2（只）
鸡：6÷2=3（只） 兔：8-3=5（只）
小结方法：刚才我们用这么多的方法解决了鸡兔同笼问题，你最喜欢哪一种方法，说说你的理由。
（三）首尾呼应，解决古题
1．尝试解答古代《孙子算经》中记载的鸡兔同笼问题。数字比较大，选假设法比较合适。
假设都是鸡
35×2=70（只） 94-70=24（只） 4-2=2（只）
兔：24÷2=12（只）
鸡：35-12=23（只）
假设都是兔
35×4=140（只） 140-94=46（只） 4-2=2（只）
鸡：46÷2=23（只）
兔：35-23=12（只）
2、代数法
用字母表示数我们已经学过，可以设雉(鸡)a只，则兔(35-a)只，依题意，得2a+4(35-a)=94解之，得a=23，则有鸡23只，有兔35-23=12（只）。
3、抬腿法
根据古书解法，因每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，不妨设想鸡和兔的脚数都是双只，则每只鸡1双脚，每只兔两双脚。题目中脚的总数由94只变为47双，抬起1双脚，但还比鸡兔总头数多12，多在谁的身上呢?多在兔的身上，因此，可将古人解法列算式为：
有兔：94÷2-35=12(只)
有鸡：35-12=23(只)
我们给这种方法起名叫抬脚法。
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（四）解决实际问题、课堂延伸。
1、动物园里有若干只鸵鸟和长颈鹿，它们共有17个头和50只脚。鸵鸟和长颈鹿各有多少只？
鸵鸟——鸡（2只脚）
长颈鹿——兔（4只脚）
2、全校教师共73人乘车去参加活动，11辆车正好坐满。每辆面包车坐8人，每辆小轿车坐5人。乘坐的面包车有几辆？小轿车有几辆？
小轿车——怪鸡（5只脚）
面包车——怪兔（8只脚）
3、【生活情境题】妈妈用5元和10元的人民币共20张正好买了一盏160元的台灯，你知道她一共用了几张5元的人民币吗？
5元——鸡
10元——兔
4、【探究题】小彬参加数学竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣3分（不答按答错计算），小彬答完这些题共得68分。小彬答错及不答多少道题？小彬答对多少道题？
答错及不答——鸡（负3分）
答对——兔（正5分）
假设：全答对：5×20=100（分）
多得了：100-68=32（分）
答错及不答一道题与答对一道题相差：5+3=8（分）
答错及不答：32÷8=4（道）
答对：20-4=16（道）
（五）课堂小结：
通过今天的学习，你有哪些收获？
总结：这节课，我们一起用画图法、列表法、假设法、代数法、抬脚法解决了我国古代著名的“鸡兔同笼”问题。用这些方法解决各种问题情境下的“鸡兔同笼”问题。