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古代盈不足术与现在盈亏问题在小学数学中的体现

发表时间：2021/6/8 来源：《比较教育研究》2021年5月作者：吴娜

[导读] 盈不足术是我国古代解决盈亏问题的一种算术方法。本文是对盈不足术在小学数学中应用的研究，在研究过程中，通过对盈不足术与现在解决盈亏类问题的方程方法进行了简单的比较与分析,发现盈不足术较方程方法而言应用更为简单。

吴娜新疆乌鲁木齐市第七十三小学 830002 【摘要】盈不足术是我国古代解决盈亏问题的一种算术方法。本文是对盈不足术在小学数学中应用的研究，在研究过程中，通过对盈不足术与现在解决盈亏类问题的方程方法进行了简单的比较与分析,发现盈不足术较方程方法而言应用更为简单。【关键词】盈不足术；盈亏问题；小学数学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2021）05-013-01 将关于盈亏问题的经典数学文化与古典数学思想融入到小学日常的数学教学当中，不仅可以让学生感受到数学文化的厚重与魅力，还可以促进学生更为深刻的理解数学知识，领悟数学解题思想，理解数学解题方法，为厚实学生的数学文化素养提供丰富的营养。一、盈亏问题在小学数学中的应用在小学数学中，盈亏问题可以大致分以下几类，它们都有各自应用的公式，可以使小学生在解决问题时变的较为容易。但需注意的是在应用这些公式解决问题时要先分辨此问题属于哪一类，若类型分辨错误，则解题错误。（一）一次剩余（盈），一次不足（亏）公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。（其中“盈”是指剩余的数量，“亏”是指不足的数量，“两次每人分配数的差”要根据题意来确定，也可以是两次两组多分配的差等，那么人数则变为组数）例：小朋友分苹果，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个苹果？盈不足术解题过程：解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）……人数 10×8-9=80-9=71（个） ………苹果或8×8+7=64+7=71（个） ………苹果答：有8个小朋友和71个苹果。现在方法解题过程：解：设有x个小朋友。 10x-9=8x+7 10x-8x=7+9 2x=16 x=8 …………………人数 10x-9=10×8-9=71(个) ………苹果或8x+7=8×8+7=71（个）………苹果答：有8个小朋友和71个苹果。（二）两次剩余（盈）公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。（其中“大盈”是指剩余数量大的那个数，“小盈”是指剩余数量小的那个数）例：士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？盈不足术解题过程：解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人）……人数 45×96+680=5000（发） ………子弹数或50×96+200=5000（发） ………子弹数答：有士兵96人，子弹5000发。现在方法解题过程：解：设有士兵x人。 45x+680=50x+200 680-200=50x-45x 480=5x 5x=480 x=96 …………………人数 45x+680=45×96+680=5000（发）……子弹数或50x+200=50×96+200=5000（发）…子弹数答：有士兵96人，子弹5000发。（三）两次不足（亏）公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。（其中“大亏”是指不足数量大的数，“小亏”是指不足数量小的数）例：将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本子？盈不足术解题过程：解：（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）………人数 10×41-90=320（本） ………本数或8×41-8=320（本） ………本数答：有学生41人和320本本子。现在方法解题过程：解：设有学生x人。

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10x-90=8x-8 10x-8x=90-8 2x=82 x=41 …………………人数 10x-90=10×41-90=320(本)………本数或8x-8=8×41-8=320（本）………本数答：有学生41人和320本本子。（四）一次剩余（盈），另一次恰好分完公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数。（其中“盈”是指有剩余这次剩余的数）例:五年一班买来一些练习本，若每人发6本，还剩30本；若每人发7本，则正好发完。五年一班有多少学生，买来多少本练习本？盈不足术解题过程：解：30÷（7-6）=30÷1=30（人）……人数 6×30+30=210（本） ………本数或7×30=210（本） ………本数答：五年一班有学生30人，买来210本练习本。现在方法解题过程：解：设五年一班有学生x人。 6x+30=7x 30=7x-6x 30=x x=30 ………………人数 6x+30=6×30+30=210（本） ………本数或7x=7×30=210（本） ………本数答：五年一班有学生30人，买来210本练习本。（五）一次不足（亏），另一次恰好分完公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数。（其中“亏”是指不足这次不足的数）例:中秋节时，一个班级买来一下月饼，如果每人4块，则少64块月饼；如果每人2块，则恰好分完。这个班级有多少人，买来多少月饼？盈不足术解题过程：解：64÷（4-2）=64÷2=32（人）………人数 4×32-64=64（块） ………月饼数或2×32=64（块） ………月饼数答：这个班级有32人，买来月饼64块。现在方法解题过程：解：设这个班级有x人。 4x-64=2x 4x-2x=64 2x=64 x=32 ………………人数 4x-64=4×32-64=64(块) ……月饼数或2x=2×32=64（块） ………月饼数答：这个班级有32人，买来月饼64块。二、盈不足术与现在方法的区别在上述中将盈不足术在小学数学中的应用分为了五类，这五类盈亏问题不仅容易区分其类型，而且都分别有各自对应的公式，且公式简单易懂。因此，解决盈亏问题时首先将其分类，寻找到盈或者亏的数量与所对应的人数或组数，再用所对应的公式进行计算便可以了。现在小学数学解决盈亏类型问题一般是采用方程方法来解决。用方程的方法解决此类问题时，首先要设“未知数x”，再寻找题中所给出的等量关系，然后列方程求解。盈亏问题一般会有两问，那么也就意味着有两个数需要求解，一般情况下我们要根据问题设人数或者组数为“未知数x”。下一步，便是寻找等量关系了，这就要求学生要读懂题，弄清题中谁与谁是相等的，如“中秋节时，一个班级买来一盒月饼，如果每人4块，则少64块月饼；如果每人2块，则恰好分完。这个班级有多少人，买来多少月饼？”其中的等量关系是“第一次所分月饼数=第二次所分月饼数”。然后利用“未知数x”列出第一次与第二次所分月饼数的整式，将这两个整式用等号连接起来，便成为了等式。最后解方程求出“未知数x”，这个问题便解决了。因此，盈不足术与现在的方程方法都有其各自的特色、优点与缺点。盈不足的方法属于算术方法，而方程解法属于代数的方法，它对于学生要求比较高，强调学生要理解题意，以便寻找到等量关系。盈不足术较方程解法而言，应用更为简单、方便。三、研究总结盈亏问题是我们生活中较为普遍的问题，也是小学数学应用题中较为常见的一类题。如买东西会遇见给的钱多或者少、分配时东西够不够分等问题，这些问题都属于盈亏问题，需要我们使用盈不足术或者方程方法来求解。盈不足术与现在的解题方法各有其独特的优点，但是同样也有其自己的局限性，要在限定条件下才能使用，如盈不足术的公式便是如此，一定要分清类型，才能使用对应的公式，以免无法解题。参考文献 [1]傅海伦．盈不足算法的方法论启示[J]．数学通报，1998（9）：38-40. [2]李玉呈．简介盈不足术[J]．中学生报，2010，20(1)：20． [3]师亚军．例谈盈不足术[J]．小学教学研究，1998（7）：29. [4]邹大海．从《算数书》盈不足问题看上古时代的盈不足方法[J]．《自然科学史研究》，2007，3:312-323.