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基于APOS理论指导下的椭圆定义教学探究

发表时间：2021/6/8 来源：《教学与研究》2021年5月上作者：何燕

[导读] 杜宾斯基等人认为，任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对”学生是如何学习数学的“及”什么样的教学计划可以帮助这种学习“的理解，而不仅仅是陈述一些事实，正是基于这样的考虑，建立了APOS理论。

闽南师范大学数学与统计学院何燕

摘要：杜宾斯基等人认为，任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对”学生是如何学习数学的“及”什么样的教学计划可以帮助这种学习“的理解，而不仅仅是陈述一些事实，正是基于这样的考虑，建立了APOS理论。APOS理论深刻地揭示了学生在数学学习过程中的思维活动，指明了学生在理解数学概念的过程中分四个阶段：活动，程序，对象，图式。[1]这个理论对数学概念的教学提供了新的理论支持，为教师提供了一种实用的教学策略。
关键词：APOS理论；椭圆
        1 创设情境——过程阶段
         活动1 用投影仪向学生展现生活中的椭圆，如椭圆形盘子、人造卫星的运行轨迹......
        问题1 问学生还能举出现实生活中的其它例子吗？
        活动2 动手操作，将绳子对折，使它的两个端点固定在一个黑板上的一个定点上，用粉笔把对折后的绳子拉直，绕着固定的点运动一周，得到一个圆。仿照画圆的操作，将绳子的两端不是固定在同一点，而将它固定在分开有一段距离的两点上，这时再用粉笔沿绳子移动一周，小组合作画图，得到椭圆。
        活动3 用几何画板向学生演示刚刚的操作过程，验证学生操作的正确性。
        【设计意图】创设两个教学活动，分别是从生活中列举椭圆的例子，和动手操作演示椭圆的形成。第一活动，让学生体验到数学与实际生活的联系，更加直观得体验到后面要学习的内容，激发学生探究的兴趣。让学生自己动手操作体验椭圆的形成过程，积累感性经验，为理论认知做准备。
          2 探索新知——程序阶段
问题1 从刚才画图的过程中可得知，变与不变的量有哪些？假设设两个定点为F1、F2，粉笔端的动点为M。（分析绳子的长度没变，即MF1+MF2不变，两定点的距离也没变，即F1F2的长度没变，但MF1、MF2的长度在变化）
         问题2 仿照圆的定义，描述一下动点M的运动，归纳出椭圆的定义是什么？（平面内与两个定点F1F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆）
问题3
        （1）已知两个定点的距离为8，动点M到两定点的距离和为8，则M的轨迹是什么形状？
        （2）两定点距离还是8，动点M到两定点距离和为6，则M的轨迹是何形状？
        第一个轨迹应该是一条线段，对于第二个问题应该不存在这样的点，引导学生得知“满足和是定值这一条件，并不能确保得到的动点轨迹就是椭圆”，必须保证绳长要大于两定点的距离，即MF1+MF2>F1F2
        问题4 用所学理论说明为什么绳长要大于两定点的距离吗？（粉笔头与两个定点组成了一个三角形，三角形两边之和要大于第三边）
        【设计意图】程序阶段体现了教师引导学生抽象椭圆的定义过程。经过前一阶段，学生与椭圆的亲密接触后，大脑已形成“椭圆是由两定点和一段固定长度确定得到”这样一个稳定心理结构，即便不再演示也能回答教师提出的“变与不变”的条件，抽象得到椭圆的定义。接着教师通过两个练习，让学生通过动手实践得出之前的定义不够完善的结论，得出更加完整的定义，这样就把一个抽象的问题用数字形式具体化。在教师的顺利引导下，学生思维内化和压缩，形成一个新的认知结构，顺利度过程序阶段。
         3 实践应用——对象阶段
         问题1 仿照研究圆性质的方法，通过建立坐标系、设点的坐标，根据几何定义列出该点满足的动点方程，化简方程，首先第一步是需要建系，如何建系比较好？为什么？

           问题3 总结一下本节课的主要内容有哪些？
          （1）推导椭圆的标准方程
          （2）椭圆两种标准方程的比较
          （3）标准方程的基本用法和应用
         本节课的主要思想方法有求轨迹方程的方法、数形结合数学思想。
         【设计意图】在图式阶段，教师引导学生建立起与椭圆相关概念的综合心理图式，并通过总结、反思进一步强化对知识的认识学生能够建立起椭圆与其他知识点的联系，解决一些综合性习题。
         5 思考
APOS理论指导下的数学课堂，是一个让学生主动思考、积极探究的数学课堂，在这里，学生成为了学习的主体，这符合当前的教育形势和要求。[2]因而在未来的数学概念教学之中,要将APOS理论的研究作为教师提高概念教学质量的新途径，做好学生不同学习阶段概念之间的衔接，并在数学概念教学设计中得到不断推广和应用。[3]
参考文献
[1]鲍建生，周超。数学学习的心理基础与过程[M].上海:上海教育出版社,2009.
[2]李成. 基于APOS理论的圆锥曲线概念教学研究[D].华中师范大学,2019.
[3]常稳稳,陈跃辉.基于APOS理论下的函数概念衔接教学——以“函数奇偶性”为例[J].福建中学数学,2020(12):6-9.