浅谈如何在例题教学中体现一次函数的应用价值--中国期刊网

字体：大中小

首页> 原创作品> 正文

浅谈如何在例题教学中体现一次函数的应用价值

发表时间：2021/6/8 来源：《基础教育课程》2021年6月作者：蔡梦思

[导读] 在一次函数的教学中，常常会发现学生在解决应用题时会跳过建立一次函数模型这一关键步骤，直接将其转化为方程或不等式问题，这一现象与学生的认知习惯和变量问题的常量化均有所关联. 本文以浙教版数学教材中一次函数的应用题为例，讨论如何基于学情启发学生对实际情境的思考，体会一次函数的应用价值。

浙江温州市绣山中学蔡梦思 325000

摘要：在一次函数的教学中，常常会发现学生在解决应用题时会跳过建立一次函数模型这一关键步骤，直接将其转化为方程或不等式问题，这一现象与学生的认知习惯和变量问题的常量化均有所关联. 本文以浙教版数学教材中一次函数的应用题为例，讨论如何基于学情启发学生对实际情境的思考，体会一次函数的应用价值。
关键词：一次函数应用题实际情境
        在浙教版数学教材的编排中，从八年级下册第五章《一次函数》开始，学生将从常量数学的学习转向变量数学的学习，是其对数学认知的一次重要飞跃，同时也为今后进一步学习和运用其他函数奠定基础。本单元的应用题，往往也可转化为算式、方程、一元一次不等式来解决。因此学生会有疑问——为什么非要用一次函数来解决这些问题，用以前的方法不也可以吗？说明学生对一次函数的应用价值体会并不深刻。把握本章的应用例题，合理教学，启发学生对实际情境更为开放的思考，可以让学生深刻体会一次函数的应用价值。
        一、凸显实际情境隐含的变量关系，避免变量问题的常量化
        在本章节中能用方程和不等式解决的实际问题，看似有两个变量，实际上有一个变量的值已经给出具体值或具体范围，故而学生将解题思路局限在常量数学范围内。一次函数是用来表示两个变量之间关系的工具，有了一次函数，只要问题给其中一个变量附上某一条件，都可以利用方程和不等式来得出另一变量随之产生的结论。一次函数是方程和不等式的一般化，一次函数作为“不变”可应“万变”。在应用题例题的教学中，可以通过一些提问引导学生思考，让学生去体验一次函数这种“不变”的包容性和灵活性，以体会一次函数的必要性与应用价值。以一次函数中的例4为例。
        《5.3一次函数》例4
        从1995年底开始，某地区沙漠面积几乎每年以相同的速度增长. 据有关报道，到2001年底，该地区沙漠面积已从1998年底的100.6万公顷扩展到101.2万公顷.
        （1）可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化？
        （2）如果该地区的沙漠化得不到治理，按相同的增长速度，那么到2020年底，该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷？
        此例题是想通过一个实际问题，巩固用待定系数法。第一问“用什么数学方法”要求学生选择适合的数学模型，体现建模思想，将学生的思路引向用一次函数解决本题。在实际操作中，学生很难理解“用数学方法描述沙漠面积变化”。但是强行要求使用一次函数，又会遭到学生的质疑，后续练习他们仍旧不使用一次函数。我认为可以挖掘本道题，让学生体会一次函数在解决实际问题中的应用价值。

期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆

        从1995年底开始，某地区沙漠面积几乎每年以相同的速度增长. 据有关报道，到2001年底，该地区沙漠面积已从1998年底的100.6万公顷扩展到101.2万公顷.
        师：阅读这则报道，请问你能从中得到什么结论？
        生：沙漠每年增长0.2万公顷.
        生：1995年底，沙漠面积是100万公顷.
        师：你是怎么得到这个结论的？
        生：1995年底到1998年底经过了3年，增加了0.6万公顷，减回去就可以了.
        师：非常好，还有谁有其它结论吗？
        生：那1996年底就是100.2万公顷.
        生：1997年底100.4万公顷.
        生：2002年底101.4万公顷.
        ……
        师：那我想问问大家，按照这样的增长速度，到2020年底，沙漠面积变为了多少公顷？
        生：变成105万公顷.
        师：请算的最快的同学分享自己的计算方法.
        生：1995年是100万公顷，1995年底到2020年底一共25年，每年增长速度为0.2万公顷，可以列式100+0.2×5.
        师：那么我想问大家，按照这样的速度，到2030年底，沙漠面积变成多少呢？到2050年呢？你是如何快速算出来的？
        生：1995年底后经过了x年的沙漠面积=100+0.2x，只要算出x，代进去算就可以.
        师：很好，在刚刚同学小结出的关系中，有哪几个变量？
        生：两个，1995年底后经过了x年的沙漠面积和x.
        师：不妨设1995年底后经过了x年的沙漠面积为y，那么y=100+0.2x，y和x之间的关系是用了什么数学模型表示出来了？
        生：一次函数.
        在本例的教学中，设置开放型问题，让学生阅读文本后自由得出结论。学生倾向于使用计算解决问题的习惯，可以让他们自己充分感受例题中的两个变量之间存在的函数关系，此时，适当的启发，学生能得到具体的关系式，自然地发现可以用一次函数描述这两个变量之间的关系，理解一次函数在解决实际问题时的优越性与必要性。
        二、对比生活经验对应的代数原理，体会函数性质的简便性
        《5.4一次函数的图象和性质（2）》例2
        我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷. 请估算6年后该地区造林总面积达到多少万公顷.
        在一次函数中有一类问题考查一次函数增减性的应用，比如以上的例2。审题结束后学生会想到用一次函数来解决这个问题，但分辨不出自变量与函数，此外，由于一次函数的单调性，学生直接代入自变量求边界值，也可求得答案，学生可能会基于生活经验来解释自己的做法，甚至可能根本不清楚原理，但仍然会将直接代入进行到底。基于以上分析，我重新设计了呈现例题时的引导提问。
        《5.4一次函数的图象和性质（2）》例2
        我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷. 请估算6年后该地区造林总面积达到多少万公顷.
        师：你能说出6年后该地区造林总面积达到了多少万公顷吗？
        生：不能，增长速度是个范围，最后造林总面积也是一个范围.
        师：这两个范围之间有什么关系？
        生：增长速度最大的时候，造林面积是最大的，增长速度最小的时候，造林总面积最小.
        师：看来每年新增造林面积决定了6年后该地区造林总面积，这两个变量可以用什么数学模型来描述？
        生：一次函数.
        师：你的依据是什么？
        生：每年新增造林面积大致相同.
        师：请你表示出这个一次函数.
        （学生通过设元，列式得到一次函数式y=6x+12. ）
        师：只看这条一次函数，你可以解释为什么x最大时，y也最大，x最小时，y也最小吗？
        生：k=6>0，所以y随x的增大而增大.
        师：除了从生活常识的角度，用文字来解释这个函数的增减性之外，我还可以从代数的角度，简洁地用这么一个不等式就给出解题必需的说明.
        学生在解决增长类应用题时，往往是增长速度是常数，时间作为自变量的类型题。分析数据后，学生对于题中的变量和常量会有所混淆，此时通过提问，引出这个实际问题中相互关联的两个变量，确认要求的结果为一个范围。学生会从生活实际的角度来解释实际问题中的函数增减性模型，这是一种辅助性认知，通过比较，发现从代数角度说明解题更为简洁。
        对于学生来说，都会趋向于选择自己所知的更为简单的方法或是原有经验来解决一个问题。在教学中，要引导学生积极应用新知而达到内化新知的效果，一定要在新课学习时让学生感受到知识的必要性和应用价值，或是建构新知与原有知识结构的链接。在新课习题解法方面，若难以体现这一点，就要在习题分析时通过恰当地提问和变式，启发学生的思考，来达成这一目的。