黄黎慧1，赵永振2，苏焱3,孙哲4
1 武汉交通职业学院 湖北 武汉 430065 2 中国舰船研究设计中心 湖北 武汉 430064 3 武汉理工大学 湖北 武汉 430063 4 大连理工大学 辽宁 大连 116024
摘要：为了准确高效地模拟规则波浪生成与传播，在完全非线性Boussinesq数值水池框架下开发了一种基于流函数的造波技术。通过建立Boussinessq数值水池模型，利用Matlab软件编写流函数造波程序，实现了线性波数值造波，并将数值模拟结果与理论解进行对比，验证了流函数造波的可行性和准确性。同时，初步模拟了强非线性波浪的生成和传播，研究了强非线性波浪的传播特性。
关键词：流函数理论；数值波浪水池；Boussinesq方程；造波技术
Realization of stream function theory in numerical wave tank based on Boussinesq equation
Huang Lihui1 Zhao Yongzhen2 Su Yan3 Sun Zhe4
1 Wuhan Technical College of Communication, Wuhan 430065, China
2 China Ship Development and Design Center, Wuhan 430064, China
3 Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China
4 Dalian University of Technology, Dalian 116024, China
Abstract: In order to simulate the generation and propagation of regular wave accurately and efficiently, a wave-making technique based on stream function is developed under the frame of fully nonlinear Boussinesq numerical tank. In this paper, by establishing the numerical model of Boussinessq water tank, programming the stream function wave generating program using Matlab software, the numerical wave-making of linear wave is realized. Comparing the numerical simulation results with the theoretical solutions, the feasibility and accuracy of the stream function wave generating are verified. At the same time, the generation and propagation of strong nonlinear waves are preliminarily simulated, and the propagation characteristics of strong nonlinear waves are studied.
Key Words: steam function wave theory; numerical wave tank; Boussinesq equation; wave generating
引 言
随着计算机在工程设计领域的不断普及，仿真模拟的方法在波浪问题研究中得到了迅速发展，其中数值波浪水池技术得到了众多学者及工程师的青睐，被广泛应用于波浪与波浪、波浪与地形、波浪与结构物耦合作用研究[1]。目前，依托计算机强大的计算能力来对波浪传播以及结构物在波浪中的受力及运动分析情况进行数值分析已经相当成熟，数值波浪水池已经成为船舶与海洋工程领域的关键技术之一，建立计算更加高效且能准确模拟非线性波浪生成与传播过程的数值波浪水池模型是数值波浪水池发展的一个重要方向。
目前研究和工程应用中被广泛使用的非线性波浪模型是Boussinesq 波浪模型。Boussinesq方程在使用的初期主要用来解决浅水弱非线性问题，自Perigrine(1967)[2]于1871 年推导出Boussinesq 方程以来，很多学者对Boussinesq 波浪模型进行了研究，不断完善Boussinesq 波浪模型的理论系统。迄今为止，Boussinesq 模型在方程的色散性和非线性上己经有了很大的提高，可以解决非线性较强的问题。Madsen 等[3]于2006 年提出的高阶 Boussinesq 模型不仅是全非线性模型，而且色散性精度很高，能够处理kd≤25的波浪。
在数值波浪水池中，波浪的准确生成是对流体运动及其与结构物相互作用进行研究的基础。流函数波浪理论是由Dean于20世纪60年代[4]提出的，具有使用范围广、可扩展到任意阶数、拟合条件好、能够考虑洋流作用等优点，在近些年得到了迅速的发展。本文主要研究基于完全非线性Boussinesq方程数值水池，采用流函数方法进行造波并对其波浪场进行计算分析，通过基于流函数理论实现数值水池造波技术。
1 数值计算方法
1.1 Boussinesq控制方程
本文考虑三维数值造波，数值水池的模拟俯视图如图1所示，在水池一端设造波区，水池末端设置消波区，中部即为波浪稳定传播的区域。数值模拟时采用满足右手定则的笛卡尔坐标系，水平轴位于无扰动的静水平面上，z轴垂直向上。当水面兴起波浪时，波面升高是水平轴x和时间t的函数。
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1.2 流函数造波理论
1.2.1 流函数波浪理论基本方程
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1.2.2 数值求解
编制Matlab程序，通过迭代法求解流函数表达式的参数。首先，定义未知数变量x和函数方程fun:
由上文分析可知，x是一个2N+5个方程组构成，限定条件用Matlab语言表示如下：
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利用最小二乘法对方程组进行迭代求解，最终获得一组满足所有限定方程右侧差值趋向于0的向量x，分别对
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赋值，即得到该流函数参数的近似数值解，获得流函数及波面升高表达式。
2. 数值计算结果与分析
建立如图3所示的长方体计算域及相应符合右手定则的笛卡尔坐标系，坐标原点在计算域的一个角点上，z 坐标轴正方向为竖直向上，Lx和Ly分别表示计算域在x和y方向上的几何尺度，h为计算域的水深，Nx代表波面区域沿x轴方向的单元数目，Ny 代表波面区域沿y轴方向的单元数目。本文水池的长度由预设造波波长所决定，具体为Lx =15L，Ly =5L,静水面位于z=0m的位置，模拟时间长度t=30s。
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2.1 收敛性分析
2.1.1 网格收敛性分析
首先对数值模拟结果进行网格收敛性分析，选取了225×75、135×45 和75×25 三种不同疏密程度的网格。图4比较了基于三种网格在x=15L，y=2.5L节点处的波面抬高值。从图中可以看出，波浪刚刚生成时，三种网格的波面幅值相差较多，随着波浪的传播，基于三种网格的波面幅值虽然存在着一定的相位差，但均能稳定达到造波的目标波形，具有良好的计算精度。随着网格逐渐加密，可以观察到基于225×75 的波面较早到达稳定状态。
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综上考虑到网格数目划分过于密集浪费计算时间，划分较稀又无法满足数值模拟精度，本文选取Nx =225， Ny =75作为后续计算的网格划分。
2.1.2 傅里叶级数收敛性分析
基于以上网格收敛性分析，在进行傅里叶级数收敛性分析时，采用网格225×75，傅里叶级数分别取24，12，6。图5比较了基于三种级数在x=15L，y=2.5L网格节点处的波面抬高值。从图中可以观察到，波浪达到稳定传播时，波高幅值在N=6的情况下出现一定的波动，随着傅里叶级数的增大，数值模拟得到的波高幅值较为稳定。
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2.2 线性波数值实现
以设定目标规则波波形的波长L，波高H，无因次水深kh为变量参数，共设置三组算例，见表1所示。利用流函数理论得到的波浪立面速度进行造波，将模拟的数值结果与波浪理论的理论解进行对比，验证流函数理论进行造波的正确性和准确性。
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表1中，case3算例中无因次水深h=1时，满足非线性浅水有限振幅波使用范围，其余算例满足线型波理论的适用范围。
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图6表示case1算例下H=0.06/0.04/0.02m时得到的不同位置波面高程值与规则余弦波波面高程的对比。在该情况下，在距造波边界处相同位置计算得的波面高程的时间曲线与理论解的波面曲线几乎完全重合，数值结果与理论解幅值和相位上均吻合，初步证明流函数理论数值方法的正确性。
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图7表示Case2算例下L=1.5/1/0.5m 时得到的不同位置波面高程值与规则余弦波波面高程的对比。当波长L较短时，波高小于目标波高，随着波长的增加，波面高程的时程曲线与理论解的波面曲线几乎完全重合。
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Fig7. Comparison between numerical results and theoretical values of CASE2
图8表示Case 3算例下kh=4/2/1m 时得到的不同位置波面高程值与规则余弦波波面高程的对比。当kh=1时，算例设置满足非线性波的适用范围，从模拟结果可以看出，在非线性较弱的情况下，基于流函数的线性造波边界条件可以给出正确的结果。其余情况下，相同位置处数值计算得的波面高程的时间曲线与理论解的波面曲线几乎完全重合。
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由上述分析可知，本文基于流函数建立的数值水池波浪模型能够较好的模拟规则波的生成与传播，数值模拟的波形与目标波形在幅值和相位上均表现出良好的一致性。
2.3 强非线性波的数值实现
采用的数值水池模型同上，在进行文献阅读[6]和初预算之后，选定的波浪参数如下表2所示，算例均满足强非线性浅水有限振幅波适用范围，数值模拟时间长度t=40s，图9为不同时刻下流场抓拍图。
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为了验证流函数理论对于非线性波浪的实现，主要利用随时间变化的波面高程值进行分析，分别在水池边缘和水池中部距造波边界7.5倍波长处，即x=7.5L,y=2L；x=7.5L,y=4L处提取波面高程的值。数值计算结果如图10所示，case1理论解可从文献中查得。从波面的模拟结果可以看出三种算例下均能稳定的实现非线性波浪的数值造波。
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3. 结论
与传统推板或摇板造波相比，利用流函数理论数值求解进行造波，可以严格满足非线性波浪入射边界条件，避免了杂波的产生。又由于基于Boussinesq方程建立的数值波浪水池模型自由水面边界条件也为完全非线性，则本文中利用流函数理论进行造波的数值水池模型从波浪的生成到传播均为完全非线性，其为真正意义的完全非线性数值波浪水池模型，将来可被用作研究完全非线性波浪与流域内结构物相互作用的基础。
参考文献：
[1] 非线性波浪造波在高阶谱方法数值波浪水槽中的实现及应用 唐军军 《大连理工大学硕士论文》 2017-04-28
[2] D. H.Peregrine. Long waves on beach[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1967,27(4):815-827.
[3] Madsen P A, Fuhrman D R, Wang B. A Boussinesq-type method for fully nonlinear wav esinteracting with a rapidly varying bathymetry[J]. Coastal Engineering, 2006, 53(5 –6):487-504.
[4] Dean R G. Stream Function Representation of Nonlinear Ocean Waves[J]. Journal of Geophysical Research, 1965, 70(18):4561-4572.
[5] Fenton J D. The numerical solution of steady water wave problem[J]. Computers & Geosciences, 1988, 14(3):357-368
[6] 赵彬彬. 基于G-N 理论的三维非线性水波数值模拟方法研究[D]. 哈尔滨工程大学, 2010.
国家自然科学基金（51809035）
作者简介：黄黎慧 1985年11月，女，武汉交通职业学院船舶与航运学院，讲师，硕士研究生。
研究方向：船舶设计与制造