1周新 2张静
1黄冈中学北京朝阳学校 100023；2北京市陈经纶中学新教育实验分校 100024
几何直观是《新课标》的核心概念之一.它就是凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，帮助学生突破数学理解上的难点.几何直观是数形结合思想地更好体现，通过图形的直观性质来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现 代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透. 下面就是对人教版八年级上的数学活动——将军饮马问题所进行的课例回顾：
环节 1 课例解析
本节课围绕的教学关键问题是:如何培养学生用图形分析和解决问题的能力?
（1）内容解析.本节课的主要内容是借助几何直观解决将军饮马问题.解决这类问题的关键是学生在理解了 “形动”（点在直线上的位置变化）与“数变”（两条线段之和的变化）之间的对应关系后，通过画出图象系将图象的运动变化过程直观呈现出来，然后再由观察、 分析、归纳等思维活动发现使两条线的和最小时点的确切位置.在这一个过程中，图形使实际问题具体化、形象化，有助于学生探索解决问题的思路，获得结果.通过本节课的学习， 将有助于培养学生用图形分析和解决问题的能力，体会几何直观在数学学习中的重要作用. 体现了几何直观能将“复杂问题变得简明形象，有助于学生理解数学”的作用.
（2）学情分析.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会 感到陌生，无从下手.
解答：“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如何在上 l 找点 C，使 AC 与 CB 的和最小”，需要将其转化为“直线 l 异侧的两点，与 l 上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.
教学时，教师可以让学生首先思考“直线 l 的异侧的两点，与 l 上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较 来证明，同时让学生体会“任意”的作用.
（3）目标分析.通过以上分析，将本节课的教学目标确定为：能利用轴对称解决简单的 最短路径问题，体会几何直观在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想、数学结 合思想.
（4）基本思路.本节课设计主要分为三个活动.
活动 1：提出问题 1，通过解决问题回顾解决两条线段之和最小的依据“两点之间，线段最短”.首先通过提出问题，借助几何画板引导学生分析两条线段之和的大小与点的位置变化之间的关系，并启发学生通过画出图，对问题进行直观分析，然后引导学生对分析问题的 思维方法进行回顾.
问题 1 已知在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在直线 l 的异侧，请你在直线上取一点 C，使点 C 到点 A、B 的距离之和最小.
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活动 2：问题变式，深化直观分析.在问题 1 的基础上，引出将军饮马问题，让学生经历“实践-反思-再归纳-再反思”的学习过程，提高用图象直观分析和解决问题的能力，积累活 动经验.
活动 3：课堂小结，梳理学习收获.
环节 2 片断回放
下面回放活动 2 的教学过程.
问题 2 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍
交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图 1 所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到军营 B 地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
图 1
追问 1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢?
师生活动：将 A、B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线
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追问 2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它进一步抽象为数学的问题吗?
师生活动：学生认真思考后交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：
（1）行走的路线：从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地；
（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点.设 C 为直线 l 上的一个动点，上面的问题转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小.
（4）并通过画图和几何画板等度量等发现，点 C 位置变化，AC 与 CB 的和也发生变化（如图 2）.
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图 2
［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高 其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题，更有利于分析问题、解决问题.
追问 3，你能尝试解决这道新出现的问题吗?
师生活动：学生认真思考后交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：
（1）在转化思想的指引下，利用轴对称将“同侧两条线段之和”转化为“异侧两条线段之和”；
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作法：作点 B 关于直线 l 对称点 B’， 连接 CB’，
∵点 B’、B 关于直线 l 对称，
∴CB= CB’
∴AC+CB= AC+CB’
但是这个点 C 并不一定是能使 AC+CB 取最小值(点 C 是直线 l 上的任意一点).当 AC+CB 最小值的问题转化为求 AC+CB’的最小值问题后，即转化为问题 1，连接 AB’交直线 l 于点 D.
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∵AD+BD< AC+B’C=AC+BC
即 AD+BD< AC+BC
∴点 D 即为所求.
［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想， 再通过老师的引导启发明白解决这个问题运用直观想象，将两线段在直线同侧的问题，转化为两线段在直线异侧的问题，提高学生的几何直观能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.
环节 3 教学反思
本节课作为数学活动课，关注学生的思维发展，围绕“如何培养学生用图形分析和解决 问题的能力”这一教学关键问题，主要有以下两个突出的做法：
实践反思，深化学生主动画图、用图分析问题的意识.
针对部分学生缺乏借助图形解决问题的意识，我没有急于给出借助图形解决问题的方 法，而是结合具体的问题情境，以生生互动及教师追问的形式，帮助出现困难或错误的同学， 在实践反思的过程中，逐步认识到图形对理解及解决问题的不可替代的作用.
在问题 1 的解答中，学生有以下几种画图：
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如图 5，连接 AB 交直线 l 于点 C，则 AC+BC 的值最小.在直线 l 上任意取一点 C’（如图 6），连接 AC’、BC’，依据“两点之间线段最短可得”，AC+BC<AC’+BC’，显然，图 3，图 4 中的点 C 并不是所求.
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图 6
在问题 2 的解决中更是借助直观想象，通过轴对称变换把同侧两条线段之和转化为异侧两条线段之和.
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整节课始终鼓励学生画图、用图，借助几何直观从而最终深化用图形分析问题、解决问 题的意识，即“以形解数”.
本节课教学虽已结束，教学过程中暴露出的学生的思维障碍，引起了我的深度思考：日 常教学中，该如何培养学生用图形分析和解决出现问题的能力呢?
1.在教学中使学生掌握基本的作图能力，养成规范作图的习惯
这里的画图包括尺规作图和借助直尺等画图工具画图，画图对理解概念、寻求解题思路都有很大的帮助。首先，我们要让学生认识到画图的重要性，比如借助问题的解决等，让学生意识到能画图时尽量画图，它可以将相对抽象的思考对象“形象化”、“直观化”。其次， 画图从识图开始，教学中注意引导学生识图、用图，在理解图形的基础上才能准确地画图。 这其中包括对图形中线段、角等基本元素关系的理解，图形与图形之间的关系等。再次，要求学生规范画图，规范用画图工具，规范画图步骤，等等.
2.学会从“数”与“形”两个角度认识数学
在数学教学过程中，我们要抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达“数”，以“数” 精确研究“形”.引导学生从数形两方面认识数学，多角度去考虑问题.
3.重视文字、符号、图形三种语言的转化
文字语言是学生接触最久也是最自然的语言，在数学中文字语言是简洁的进而也是比较抽象的，图形语言和符号语言相结合能比较直观地展示有助于文字的理解，而文字语言又 有助于认识图形和理解符号语言.
4.运用基本图形、基本模型解决问题
对于复杂的几何图形，对于学生来说比较难于把握其中几何元素的关系，但如果积累较多的基本图形，通过对复杂图形进行分离“化零为整”，对于图形就比较容易把握.
几何直观是学好数学的有利工具，也是提高数学素养的一个标志，对于几何直观能力的培养应作为教学的重要任务.
环节 3 点评反馈
本节课的的教学，立足学生几何直观核心素养的培养，围绕“如何培养学生用图形来分析和解决问题”的问题，开展了有效的教学，具体有以下三个特点.
1.教学内容的选择有助于培养学生的几何直观核心素养.首先最短路径问题中由于点 C 的位置变化（形变）带来两条线段和的变化（数变）.其次，在问题 2 的解决中更是借助直观想象，通过轴对称变换把同侧两条线段之和转化为异侧两条线段之和，从而突破本节课的 难点，学生能进一步体会用图形分析问题的好处，对于发展学生空间想象能力、数学结合能 力、归纳概括能力都具有重要意义.
2.两个问题的设计使用图形分析问题的思路符合学生的认知规律.在问题 1 的解决中，学生通过画图、观图、辨图的分析过程已经形成“同侧两线段之和最小”这一基本图形，通过 直观想象问题 2 解决自然的联系并转化为问题 1 的解决方法和对应图形，从而突破本节课的难点.
3.本节课的教学始终注重学生的动手画图与数学思辨.用图形来分析问题能力的培养，首先需要学生具备画图能力，其次具备分析图形，找到图形中存在的数学原理，借助几何直观 和转化思想发现临问题 1 和问题 2 之间的关系.本节课中，教师给与学生充分的动手画图的时间，数学思辨的空间，使学生充分理解和感悟了其中的运动变化与数形结合规律，发展了几何直观素养.
［1］中华人民共和国教育部 . 《 义务教育数学课程标准（2011 年版）》.北京：北京师范大学出版社，2012.
［2］周德明 ，王华民 ，奚勇斌 .利用探究资源 激发学生潜能［J］.《数学通报》，2017
（8）.
［3］马娟平 ，王华民.借力数学思想 挖掘隐含信息 寻求解题突破［J］《中小学数学》，2017（3）.