赵一帅 张萌
山东协和学院 山东济南 250200
摘要：线性代数是研究工程学的基础，行列式做为线性代数中的一个重要概念，是最常用的工具之一。本文将总结行列式研究的发展史，从多个角度总结行列式的定义、性质，并介绍不同种类型的行列式的计算。
关键词： 线性代数 行列式 发展史
纵观数学史，我们会发现历代的学者几乎都在朝着一个共同的目标前进，像接力赛似的一棒接一棒。早在1693年莱布尼茨就提出了行列式这一名词，并给出了方程组系数行列式为0的条件。[1]在同一个时代日本数学家关孝和在其《解伏题元法》也提出了这一概念。到了1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则算是有了一套比较完整的阐述[1]。并给出了解线性方程组的克莱姆法则。在同一年中，数学家贝祖把行列式一些符号进行了系统化整理，并且提出了关于齐次线性方程组有零解的讨论。经过了漫长的一段时间，法国数学家范德蒙德发现了行列式不仅仅能用来求解线性方程组。他给出了余子式展开方法的定义规则。拉普拉斯在其论文中也证明了范德蒙德提出的规则。在继范德蒙德之后，同为法国的大数学家柯西在一篇论文中提出了行列式的乘法定理这一成果，引进了特征方程的术语以及相似行列式的概念。继柯西之后，德国数学家雅可比引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，这使得行列式在19世纪就取得了重大的成果。[2]
一．行列式的定义
首先需要指出：行列式的本质就是数，只是一种不同的表示形式而已。
行列式的定义若从逆序数的的角度出发来给出，若行列式为n（n≥2）阶行列式那么就会有下面的式子：
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，此公式表示的每一个元素都是取自不同行，不同列，之后n个元素相乘，其符号取决于这些元素的逆序数的奇偶性，当列下标为奇排列时，应附加负号，当列下标为偶排列时，应附加正号。[3]若从纯粹的代数学角度来定义分析行列式的话，较为抽象且难以理解和接受，我先详细通俗的给出行列式的本质定义。记一个式子
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，我们程其为2阶行列式，其中aij的第一个下标i表示此元素所在的行数，第二个下标j表示的是此元素所在的列数，于是此行列式包含四个元素，并且
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那么这是一种什么计算规则，这种计算规则其内在意义是什么呢？
首先我们把行列式的第一行的元素a11和a12记作二维向量[a11,a12]=a1，此行列式的第二个元素a21和a22记作二维向量[a21,a22]=a2.不失一般性的，可以将其绘制在直角坐标系中，且以这两个向量可以拼接出一个平行四边形，我们记这个平行四边形为OABC，现在我们就可以来研究这个平行四边形的面积，那么这个四边形的面积究竟是多少呢？
不妨设a1的模长为n，a2的模长为m，a1与x轴的正向夹角记为α，a2与x轴的正向夹角记为β,于是有如下的一张图：
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则我们就会有下面的这个式子：
S=n*m*sin（β-α）
=n*m（sinβcosα-cosβsinα）
=(n*cosα)*(m*sinβ）-(n*sinα）*（m*cosβ)
=a11a22-a12a22
我们会发现的
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值与平行四边形的面积相同，就有了一个有趣的结论：二阶行列式是由二维向量组成，而其运算法则的结果就是其对应的平行四边形的面积。这样我们就可以很清楚的看到二阶行列式的计算规则了，同时也可以了解到其几何意义。
这样，如法炮制3阶行列式由3个三维向量组成的，其相应的几何意义为平行六面体的体积。n阶行列式是由n个n维向量组成，与其对应的是n个向量为邻边的n维图形的体积[4]。这样的话，就有了一个重要的观点：我们可以把行列式看做是由若干个向量组成的，如果说这若干向量组成的图形体积不为0，那么我们就称这几个向量是线性无关的，否则就是线性相关的。
二．行列式基本的七大性质[4-5]
性质一：行列互换，其值不变。（行列式的行和列具有相同的地位）
性质二：行列式某行或某列元素全为0时，其行列式也为0。
性质三：行列式中的某行或某列元素有公因子k（k≠0）,公因子可以提到行列式的外面。（其逆运算也称倍乘性。）
性质四：行列式的某行或某列元素均是两个元素之和，那么可以把它拆成两个行列式之和。（其逆运算是说如果两个行列式只有一行或一列元素不同其他元素均相同时，可以相加，相加时只有不同的行或列对应位置相加，其他位置的元素不变）
性质五：行列式的两行或者两列互换，行列式的值需要加负号。
性质六：行列式的两行或两列元素若相同，行列式值为0。
性质七：行列式的某行或某列元素的k倍加到另一行上去，其值不变。
三．行列式的展开定理和几个重要的行列式
行列式从表面上看是一个式子，但是从其本质来说就是一个数，只是没有显化出来，那么我们如何将一个行列式计算为一个数，显然我们只从定义和性质出发，对于超过三阶的行列式就很麻烦，式子太过于庞大。但是如果把高阶的行列式化为低阶的行列式来计算的话，这个问题就迎刃而解了。
在n阶行列式中，去掉元素aij所在的第i行第j列元素，由剩下的元素按照原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为aij的余子式，记作Mij。
余子式Mij通过乘（-1）i+j后就有了代数余子式Aij。
代数余子式满足Aij=（-1）i+jMij。余子式亦满足Mij=（-1）i+jAij。
可以看出，代数余子式与余子式之差就在代数两个字上，这两个字，如果加上代数两字则需要考虑符号问题。
“若行列式的某行或某列元素分别乘上自己的代数余子式之后再求和，结果等于行列式。”这个定理称为行列式展开定理。“若行列式的某行或者某列元素乘上其他的代数余子式之后求和的话，结果会为0”此定理称之为异乘变0定义。
重要行列式一：主对角线行列式（上（下）三角行列式）
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（其值等于（-1）n(n-1)/2乘行列式的次对角线元素相乘。
注：n(n-1)/2是将次对角线行列式化为主对角线行列式过程中两行互换的次数）
重要行列式三：拉普拉斯行列式
有m阶矩阵A，n阶矩阵B，则有：
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（其值只需看第二行，先固定左边第一个数为xi，使其右边的数为xj,另两数相减，减后使各值再依次相乘；之后固定左边第二个数为xi，使其右边的数为xj，另两数相减，之后其次相乘。其次类推）
根据上述几种重要的行列式可以得到一个重要的结论：凡是涉及到次对角线的都需要考虑符号问题。
四．不同种类行列式的计算问题
当遇到具体型行列式的计算问题时，应尽可能的像展开定理和重要行列式的方向去靠拢。
1.直接展开型：用行列式的性质可以把行列式某行或某列元素化为0较多的时候，可使用展开定理。
2.爪形行列式:该行列式为除了第一行、第一列还有主对角线有元素其他都为0时，根据题型使用行列式的性质化为重要行列式。
3.行（列）和相等：该类型的行列式，将各行（列）加到首行（列），然后提出公因子，再根据行列式的性质，化为重要行列式。
4.拉普拉斯展开：当行列式0比较多且分片出现的话，可考虑根据行列式的性质将行列式分块，化为拉普拉斯行列式。
5.范德蒙德行列式：当上行的各元素与下行的各元素都成其倍数关系，考虑范德蒙德行列式。
当遇到抽象型行列式的时候，利用行列式的性质将未知行列式化为已知行列式是解题的关键。
［参考文献］
[1]徐克龙.行列式的历史及教学中的应用[D].科技重新与应用 2012-06-01.
[2]王玉芳.HPM视角下行列式概念的教学案例设计[D].高等教学研究 2015-02-01.
[3]于博.遮谈行列式的基础知识[D].新教育时代电子杂技（教师版）2014-07-01.
指导教师 张萌 山东协和学院