1何传彬 2刘彦丽
1山东省济南中学 山东省济南市 250001
2济南市旅游学校 山东省济南市 250031
摘要：初中几何综合题“解析法”的探索,目的在于拓宽学生的数学思维,丰富学生的解题渠道，寻找更为适合学生的解题方法，使学生从抽象的、复杂的几何思维中走出来，利用数形结合的思想方法，站在解析的高度分析与解决初中几何问题。
关键词:几何问题、解析法、函数思想、数形结合
在数学的发展史上，笛卡儿在分析了欧几里得几何学和代数学各自的缺点后，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法。这种方法就是几何与代数的结合----解析几何法。按笛卡儿自己的话来说，他创立解析几何学是为了“决心放弃那仅仅是抽象的几何”。
纵观近几年的中考试题，单纯的、抽象的几何问题的考查依然是学生失分的重点。这类问题的正确解答要求学生具有较强的图形识别能力与空间想象能力；具有较强的几何直观；可以依据一定的条件合理描述图形的运动与变化，理清解题思路，修正解题过程，预测解题结果。解题过程与方法一般涉及辅助线的添加、基本几何模型的变换与拓展、方程思想、转化思想、图形的旋转、平移与轴对称等.
笔者在长期的教学实践中发现，函数思想、数形结合的方法对于初中的学生来说，虽说是知识的难点，但是若能把二者有机结合起来，对于拓展学生的思维，解决部分较为复杂的、抽象的几何问题却是一种重要的思维方法。下面针对初中常见的几类几何问题的求解，探讨一下“解析法”的灵活妙用。
一：巧用函数思想，求解线段的长度┈“两点间距离公式”的应用
例题1:在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，
使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN，
再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的F处，
CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P.若AD=8，
AB=5，则线段PE的长等于
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分析：本题涉及对学生直观想象能力的考查：即辅助线的添加，利用折叠的有关知识进行感知；逻辑推理能力的考查:勾股定理的应用与相似三角形相关知识的求解。但在平面直角坐标系下，函数思想弱化了学生对于图形的直观想象，弱化了对于相似图形的直观感知，从而使较为抽象、复杂的几何图形之间的数量关系与位置关系，转化为函数之间的运算。那么我们来探讨一下它的解析法：
解：以B为坐标原点，BC、AB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系
则C(8,0)，A(0,5)，N(5,0)，NC=3
由折叠可知：FC=DC=5，FN=4,MF=1
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点评：平面直角坐标系的建立，成功地避开了相似图形中复杂的边角关系转化，使PF的求解变得更加具体，使线段的求解变地套路化与公式化。
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分析：第①小题是对几何基础知识的考查.即对基本证明方法和证明过程的考查；第②小题是第①小题的拓展与应用，是对常规知识点的生长、延伸与应用，知识结构与体系完整性的综合考查。它是对学生的空间观念、几何直观；分析能力、推理能力、综合能力的全面考查.下面我们来把两种做法作一下对比：
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这种单纯的几何方法，合理、准确地找出两组相似三角形所包含的数量关系，理清已知与未知之间的相互关系，对多数同学就是巨大的挑战。而在平面直角坐标系下，线段BF的长度就转化为直线AD与直线BE的交点到坐标原点的距离（以点B为坐标原点建立平面直角坐标系），即同学们比较擅长的代数计算问题
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如果我们把上面的问题进一步拓展，解析法的优越性就更明显了：
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二：巧用函数思想，证明线段相等┈“线段中点坐标”的应用
在几何问题的求解中，证明线段相等一般涉及“等腰三角形”、“全等三角形”、“平行（特殊）四边形”、“相似三角形”、“线段的垂直平分线”、“角平分线”与“三角函数的计算”等，一般综合性较强，难度较大。但坐标系的建立，往往使问题迎刃而解。
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下面在来比较一下(2)的两种证明过程：
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Ⅱ:解析法：如图4
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三：巧用函数思想，判断线段的位置与数量关系┈“一次函数平行与垂直的条件”的应用
例题4:如图1.点E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG,连接BF.点M是线段BF的中点，射线EM与BC交于点H,连接CM.
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转900，点E、G恰好落在线段AD、CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由.
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四：巧用函数思想，求动点之间距离的最值┈“二次函数的最值”的应用
例题：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.若点E为BC的中点，连接DE,点F是线段ED上的动点，连接AF，若AF的中点为G，求线段CG的最小值.
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分析：在一般的几何解法中，需要通过特殊点，分析出动点的运动轨迹：如图2，添加辅助线，通过点F的特殊位置，即点D、点E，确定点G在G1G2上运动，G1G2为AED的中位线，利用三角形中位线的性质定理与特殊四边形的性质确定最短距离时点G的位置，然后利用点到直线的距离，求出垂线段CG2的长度即可.本题的难点在于辅助线的添加与最短距离所在位置的确定.然而巧用函数思想，设出动点F的坐标，利用中点坐标公式，可以巧妙的把CG的最小值转化为二次函数的最值问题。
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由此可见，在初中数学教学过程中，尤其在初三复习迎考阶段，将解析几何的基本思想运用到抽象、复杂的几何问题的研究中：建立平面直角坐标系，借助直线、线段的几何特征，导出相应的函数关系式，用代数的方法研究图形的几何性质，可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。从而拓宽学生的数学思维，发展学生的应用意识与创新意能力，展现数与形的完美结合。
何传彬：中学数学高级教师，1996年毕业于山东师范大学数学系。从教二十多年，一直坚守在教育与教学的一线，一直致力于中考数学试题、中考命题方向的研究，在《山东教育》、《中学数学教与学》、《中学数学教学研究》等发表文章多篇。