武汉市东西湖区勘测设计院 湖北武汉 430040
摘要：本文首先对Kelvin模型进行修正，并且根据修正后的Kelvin模型建立变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程，然后对该固结方程进行求解，最后对该方程进行算力验证，并从梯形循环载荷以及施工载荷两个方面对变载荷下连续排水边界黏弹性地基的一维固结性状进行分析。
关键词：变荷载；连续排水边界；粘弹性地基；一维固结性状
引言：太沙基固结理论根据线弹性模型对饱和土层在任意时间的渗透固结性状进行计算，该理论在假设土体饱和、土体均质、土颗粒和孔隙水固结过程不可压缩、水渗透服从达西定律、外部载荷瞬时施加、土体固结变形小、水渗流和方向相同、土渗透系数和压缩系数是常数等情况下建立了一维固结模型，此后的其他固结理论基本都是基于该理论发展起来的。泰勒通过引入Kelvin模型来阐述黏弹性地基的一维固结性状，后来其他人员在此基础上对一维固结模型进行求解，固结理论得到了进一步丰富。但是固结理论模型与工程实时数据之间却不能完美结合，Gement、Koeller、Yin等人采用分数阶对一维固结模型进行修正，使固结方程的求解结果与工程实际情况更加接近。因此本文主要采用分数阶的思路对变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结Kelvin模型进行修正，并且通过对该方程的求解明确其一维固结性状。
一、变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程的建立和求解
（一）固结方程建立
1.Kelvin模型修正
本文采用RL分数阶微积分算子理论计算分数阶导数流变模型，但是该模型存在缺点，即当该分数倒数在初始点时并没有实际物理意义，因此采用RL分数阶微积分算子理论导数流变模型时同时采用Caputo分数导数消除其缺点，这样RL分数阶微积分算子导数流变模型在变载荷下可以完美适用[1]。
Caputo分数阶导数公式如下：
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（1）
公式（1）中各指标意义如下：α的含义为分数导数的阶数；G（x）的含义是Gamma函数，其中Gamma函数如下所示：
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（2）
公式（1）经过拉普拉斯变换可得如下公式：
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（3）
公式（3）中各指标意义如下：
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的含义为f（t）函数的拉普拉斯变换；s的含义为拉普拉斯变换的参量。
通过替换Kelvin模型中的牛顿黏壶，得到使用分数导数弹壶元件修正后的Kelvin模型如下所示：
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图1 Kelvin修正模型
根据Kelvin修正模型可以得到微分型本构方程如下所示：
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（4）
公式（4）各指标意义如下：
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的含义为当时刻为t、深度为z时的有效应力比初始时刻的增量；
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的含义为当时刻为t、深度为z时的应变；E的含义为弹性模量；F的含义为黏弹性体的延迟时间，本文中EF=η；η的含义为黏滞系数。
公式（4）在η=0时即传统太沙基一维固结理论的弹性模型，但是公式（4）在α=1或0时分别指代经验Kelvin模型和两个弹簧元件并联的线弹性模型，为了保证工程数据与一维固结理论模型相符，可以通过拟合工程数据的方法计算分数导数的阶数[2]。
2.固结方程
变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结模型如图2所示：
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图2 变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结模型图
图2中各指标意义如下：p（t）的含义为载荷与时间的变化关系；kv、Cv的含义为渗透系数和固结系数；H的含义为土层厚度；E、F、z的含义与上文一致。
按照太沙基一维固结理论的假设条件对Kelvin模型进行修正可以得到土体的有效应力、超孔隙水压力、水容重等参数，然后在经过拉普拉斯变换即可得到变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程如下所示：
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（5）
公式（5）中各指标意义如下：Cv的含义为固结系数，Cvγw=kvE；γw的含义为水的容重；其他指标意义与上文一致。
（二）固结方程求解
变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程的初始条件和边界条件如下所示：
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（6）
公式（6）中各指标意义如下：b和c的含义为透水性影响因子，其参数可以通过工程测量与试验模拟进行计算；其他指标含义与上文一致。当b和c无限大时，该一维固结方程为完全透水边界；当b、c接近0时，该一维固结方程为不透水边界。
将公式（6）带入公式（5）即可求出变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程的通解，然后通过分数阶黏弹性一维流变固结理论即可计算出工程实际沉降量，再对沉降量计算公式进行拉普拉斯变换处理，最后即可将其带入到原公式得到沉降变形计算公式如下：
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（7）
二、变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程算力验证与结果分析
（一）算力验证
变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程中代入实际黏弹性地基的kv、E、η等力学参数，然后根据载荷形式以及拉普拉斯变换方程即可验证方程是否成立。如果以某黏弹性地基为例，分别取kv、E、η等参数值为5×10-1m/s、6Mpa、108Mpa·s，则可以计算出当级数截取项数为2000时即满足精度要求。最后对完全透水边界的数值解进行计算，并将结果与太沙基一维固结理论的解进行对比，可见变载荷下连续排水边界黏弹性地基一维固结方程的解与其完成一致，而且当分数导数阶数为0.5时，该方程求得的数值解与后来改进的固结理论仍能保持一致，因此该方程的收敛性仍然符合要求。
（二）结果分析
1.梯形循环载荷
透水性影响因子越大则变载荷下连续排水边界的透水性越好，此时固结沉降速度快，沉降达到稳定阶段的时间比较短。当透水性影响因素为0时，边界不排水固结沉降等于0。分数阶次的大小与固结沉降的速度成正比，因此固结沉降达到稳定阶段的时间与分数阶次的大小成反比。半周期与固结沉降的振荡幅值成正比，加载系数在固结初期与沉降量成正比、在固结后期与沉降发展速率成反比。弹性模量的大小与土体的压缩难度成正比，与固结沉降达到稳定阶段的时间成反比，与固结沉降的震荡幅值成反比。
2.施工载荷
分数阶次大小在固结前期与固结沉降的发展速度成反比、在固结后期与固结沉降的发展速度成正比，而施工加载时间与固结沉降的变化趋势呈正比。
结论：综上所述，梯形循环载荷下连续排水边界透水性增大时，黏弹性地基沉降振荡幅值也增大；施工载荷下施工时间越短，黏弹性地基沉降的速度越快，但是无论施工时间长短最终的施工载荷大小是不变的。
参考文献：
[1]王珏，童立红，金立，徐长节.任意荷载下连续排水边界分数阶黏弹性地基一维固结模型[J].土木与环境工程学报（中英文），2020，42（01）：56-63.
[2]童立红，王珏，郭生根，朱怀龙，徐长节.变荷载下连续排水边界黏弹性地基一维固结性状分析[J].岩土力学，2019，40（05）：1862-1868.
江峰（1992.10--）；性别：男，民族：汉，籍贯：湖北省，武汉市，学历：本科；现有职称：助理工程师；研究方向：岩土工程。