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微积分思想在实践中的应用

发表时间：2021/6/16 来源：《探索科学》2021年5月作者：张雅淇

[导读] 微积分是数学的一个重要分支。应用微分思想，人们可以研究当自变量发生变化时，因变量将发生何种变化；应用积分思想，人们可以在进行经济、工程等领域的分析时，将复杂的转化为求面积和体积的问题，用积分方法求解。在生活实践中，微积分思想有着广泛的应用。本文详细分析了微积分思想的含义，深入探讨了其在实践中的应用，以期为相关人员提供参考。

青岛实验高级中学张雅淇 266109

摘要：微积分是数学的一个重要分支。应用微分思想，人们可以研究当自变量发生变化时，因变量将发生何种变化；应用积分思想，人们可以在进行经济、工程等领域的分析时，将复杂的转化为求面积和体积的问题，用积分方法求解。在生活实践中，微积分思想有着广泛的应用。本文详细分析了微积分思想的含义，深入探讨了其在实践中的应用，以期为相关人员提供参考。
关键词：微积分；微分；积分；实践
        1引言
        在描述许多含有数量和变量的场景时，人们都需要应用与数学模型相关的知识。如何更精确地分析变量的变化规律，求解一系列看似互不相关的变量的和，是人们经常遇到的问题。微积分为人们提供了精确地分析生产生活中的问题的工具。小至微波炉、手机、电视，大至工业、医药、经济和国防，在各个领域，当人们探讨变量之间的关系时，他们都需要应用微积分的知识。在生活中，应用微积分的知识，人们可以更理性、更客观地看待问题，快速找到最佳的解决方案。在研究中，应用微积分的知识，物理学家、生物学家、气象学家可以简明地阐释自己的学术观点。在将这些学术结论应用于实践时，工程学家也要应用微积分的知识。人们应当掌握微积分思想，在实践中熟练地应用它高效地解决生产生活实践中与变量相关的问题。
        2微积分
        英国科学家艾萨克?牛顿爵士（1642-1727）是微积分的发明者。“微积分”（calculus）是一个拉丁词，它的本意是“石头”。古罗马人使用石头进行计数。他们把“计量无限小的数字”的过程称为“calculus”。事实上，聪明的古罗马人已经尝试在计算的过程中，将难以直接求解的量分为无数“小份”后，求出它们的和，这反映了当时的人们已经可以初步应用类似微分思想和积分思想的数学思想进行计算[1]。
        3微积分思想
        3.1微分思想
        微分思想是一种非常重要的思想，它主要用于分析变量的变化率。微分思想可以帮助人们高效地得到一个变量随另一个变量的变化规律，分析当后者取特定的值时，前者将会发生多大幅度、什么方向的变化。例如，在研究病毒的传播规律时，人们可以通过收集数据，得到某一地区的感染人数N随时间t的变化规律N=f(t)。对等式两边同时求微分，得dN=f’(t)dt，在后续的研究中，人们可以根据这个式子，求出当t取特定的数值时，t发生幅度为dt后N的变化量是dN。微分思想在几何研究中也是非常有用的。微分的过程，实际上是计算当x发生微小的变化dx时，y的变化量——dy。在分析函数的图像时，x取x0时dy/dx的值就是函数在x=x0这一点的切线的斜率，dy/dx也被称为函数的导数[2]。
        3.2积分思想
        在已知变量的变化规律时，积分思想可以帮助人们确定经过一段时间、路程后（即自变量发生一定的变化后）因变量的值。这种思想最初来自牛顿和莱布尼兹。这两位数学家发现，求解曲线与x轴围成的图形面积的问题，实际上是求解函数的导数的逆问题。具体地说，牛顿发现，如果函数F（x）的导数是f（x），那曲线y = f（x）与x轴围成的图形的面积就是F（x）。需要注意的是，此处的f（x）通常不是一次函数，它与x轴、垂直于x轴的直线围成的面积通常不是三角形或梯形。但是，人们可以用无数垂直于x轴的直线，将待求解的图形分为无数个小小的矩形，然后将这些矩形的面积累加，得到F（x）表达式，这就是积分思想。在求解f（x）的积分时，人们如果能找到一个函数F（x），它的导数是f（x），问题就迎刃而解了。事实上，多数积分公式都衍生于微分公式。求解积分的过程比求解微分的过程难很多，因为在一些情况下，与f（x）相对应的F（x）是很难通过积分公式找到的。此时，人们可能需要引入新的参数，才能顺利地解决问题。
在进行类似求面积的“累加计算”时，人们可以用几何的方式直观地表达待求解的问题，通过计算相应的“面积”得到变量的表达式。例如，如果人们已知某物体的运动速度，想要求解它在运动一段时间后的路程，就可以在得到速度与时间的关系f（x）后，寻找对应的F（x），求得它在运动一段时间后的路程[3]。
        4微积分思想在实践中的应用
        4.1微积分思想在工程领域的应用
        建筑师、工程师应用微积分知识，确定构造弯曲的结构（如室内运动场上的穹顶）所需的材料数量，计算该结构的重量。此外，在改建多种建筑物和重要基础设施（如桥梁）时，人们都需要应用微积分知识。例如，在评估横梁的承重能力时，工程师可以在逐渐增加横梁的负重的过程中，记录横梁的形变量或曲率。通过计算横梁的形变量或曲率对横梁的负重的导数，他们可以定量地评估横梁的承重能力，从而优化房屋设计方案。
        在电气工程中，微积分（特别是积分）通常用于确定连接两个变电站的电缆的确切长度。在实践中，两个变电站通常相距数英里，由于电缆本身有一定的重量，在架设电缆时，它通常是弯曲的。应用积分知识，工程师可以将电缆分成无数非常小的小段，在算出每一小段的长度后，将结果相加，就可以得到所需的总长度[4]。
        在航天领域，工程师在制定长期计划时经常使用微积分。在发射探测器时，他们必须考虑探测器围绕行星运动时，应该位于哪个高度的轨道，探测器的速度是多少。他们还需要计算探测器运动过程中太阳、月亮等星体与探测器之间的引力是如何变化的，在解决这些问题时，微积分知识可以帮助工程师定量地分析变量间的关系。
        4.2微积分思想在生物领域的应用
        在进行生物学研究时，研究者常常需要在收集到相应的数据后，建立描述生物的生长和繁殖过程的数学模型。

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当不同的变量（如温度和食物量）发生变化的时候，生物学家需要应用微积分知识，确定细菌培养液中的细菌的生长速率的数学模型[5]。
        一般而言，在营养充足时，随着时间的推移，细菌的数量越来越多，要确定细菌的生长速率，就要求出细菌的数量对时间的导数。当营养足够丰富时，细菌的生长速度将会发生何种变化呢？我们用微积分的知识解决这个问题。
        生物学研究表明，当营养充足时，细菌的生长速度与细菌的总量正比。假设在初始状态下（t=0），细菌的总量为N0；在生长时间为t时，细菌的总量为N。那么，细菌的生长速度为dNt/dt。由于细菌的生长速度与细菌的总量正比，dN/dt=rN，则dN/N=rdt，两边积分，可得lnN=rt+C。t=0时，N=N0，lnN=rt+C=C=lnN0，lnN=rt+lnN0，则N=N0*ert。也就是说，当营养充足时，细菌的数量将呈指数级增长。细菌的生长速度为。
        在这个例子中，分离变量是非常关键的，在分离变量后，应用积分的知识，我们就可以高效地得到两个变量的函数关系。根据所得到的函数，只要人们知道细菌培养体系的初始状态（即t=0时细菌的数量），他们就可以非常高效地计算出t时刻时的细菌总量。
        在这一场景中，我们假设营养是永远充足的。我们没有考虑到，当细菌的数量逐渐增加时，细菌的生长能力会不会发生变化。事实上，即使在大规模培养体系中，细菌的生长能力也会随着细菌数量的增加而下降。假设生长能力下降的幅度与细菌的数量成正比，那么N和t的关系变为。我们仍可以通过分离变量，求出N与t的关系。
        4.2 微积分思想在物理领域的应用
        在物理领域，研究者经常需要进行集成性计算。例如，在计算运动型多功能车的质心、重心时，人们都需要应用微分与积分的知识。他们需要将不规则平面图形分为无数极小的规则平面图形，或者将不规则体分为无数极小的规则体，然后分别求这些极小的图形总面积或极小的几何体的总体积，得到质心或重心的位置。此外，在计算物体的运动速度和运动轨迹的长度时，在预测行星的位置时，在研究电场或磁场的变化规律时，人们也需要应用微积分知识。
        4.3 微积分思想在经济领域的应用
        4.3.1 统计分析
        经济统计领域的研究人员经常需要用数学方法处理收集到的数据，分析某些变量的变化规律，或预测指标的变化趋势，以帮助企业的决策者制定企业的业务计划。例如，如果某一经济变量服从正态分布，那么研究人员可以以这一经济变量的取值为横坐标，以相应的取值所占的比例（即取相应值的概率）为纵坐标，画出概率密度函数。概率密度函数与x轴围成的总面积是1。当计算经济变量位于某一区间内的概率时，人们可以应用积分的知识，计算x位于相应的取值范围时曲线下的面积。这种计算过程是非常简单高效的。可以为决策过程提供可靠的依据。
        4.3.2 垄断分析
        在垄断市场中，对市场进行分析是非常重要的。微分思想可以帮助企业的经营者和管理者确定当价格和产量发生变化时，企业的成本、收入、利润将发生何种变化。在构建相应的数学模型后，企业的领导者可以快速确定不同产量或不同价格对应的成本、收入、利润，从而制定最佳生产计划或销售计划。
        假设垄断市场中有A、B两家企业，它们生产同一种智能体脂秤，生产工艺相似，生产成本均为270元，且产品的外观、质量几乎完全相同。这两家企业的经营者不关注对方的经营状况，也就是说，企业的管理者不会在对方调整生产量时调整产量。如果用p表示市场中智能体脂秤的价格，那么市场总销量Q=600-p，这两家企业应如何制定生产计划，才能获得最大利润？
首先，我们需要计算这两家企业的利润。如果企业A的产量是m件，企业B的产量是n件，那么市场总销量Q=m+n，则p=600-Q=600-m-n。企业A的利润为RA=(600-m-n-270)m，企业B的利润为RA=(600-m-n-270)n。对这两个等式求微分，则dRA=(330-2m-n)dm，dRB=(330-2m-n)dn。令dRA=dRB=0，330-2m-n=0，330-2m-n=0, m=n=110。也就是说，这两个企业的管理者会在分析后，同时将这种智能体脂秤的产量定为110件，他们可以借此获得最大利润。
        可以说，微积分思想在经济领域发挥着尤其重要的作用。在分析复杂的经济体系，表述经济学理论时，研究者常常需要应用微积分的知识。它可以帮助人们精确地确定经济变量的变化规律，高效分析市场的特征。经济学研究者应当具备熟练应用微积分知识解决经济学问题的能力，企业的经营者也需要掌握一定的微积分知识，才能确定收入、利润等经济变量的极值，从而高效地决策。
        5结语
        微积分是数学的重要分支。微积分思想在分析实践时极具价值。应用微积分思想，人们可以高效地确定当目标变量的增量为0时，自变量的取值，从而求得目标变量的极值。应用积分思想，人们只要知道变量在每一阶段的变化特点，就可以确定总量的表达式。当工程师、科学家和经济学家解决与数量和变量相关的学术问题时，他们需要应用微积分的知识，才能得到可靠的结论。在应用微积分思想解决实践中的问题时，人们应当注意建立更贴合实际的模型，才能使得到的结论更可靠。
参考文献
[1]王宏军,贾月仙.微积分学中的极限思想及其应用[J].科技创新导报,2017,14(33):252-253.
[2]尚纹羽.微积分思想及其在经济学领域中的应用探析[J].智能城市,2017,3(05):228+246.
[3]吉蕴,李祖平.逻辑斯蒂模型及其应用[J].潍坊学院学报,2009,9(05):78-80.
[4]古力加马力?依斯马义.高数微积分思想的实际运用研究[J].成才之路,2016(06):24.
[5]李文婧,张春明,张海燕.微积分学中的极限思想及其应用[J].陕西教育(高教版),2011(10):100.